「使う定理は全て証明する」という数学徒の主張について思ったことをつらつらと

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時々「自分が研究で使う定理は全て証明する.
そうしないと怖くて使えない」という人がいるようだ.
それはそれで素晴らしいことだが,
例えば強く分野に依存することではないかという気がしたので,
思ったことをメモしておきたい.

私の周辺の解析学はかなり上記の行動は徹底できると思うが,
例えば代数幾何などはどうだろう.
気になったのは特異点解消定理の扱いだ.
ここ によると廣中先生の原論文は 400 ページあるようだ.
今では証明が改良されてもっとすっきりしているかもしれないが,
その辺りは分からない.

具体的な多様体に対して具体的な特異点解消を考える上では,
むしろ上記定理によらずにきちんと構成した方が便利だろうから
その意味で特異点解消定理のお世話にならずとも済むだろうが,
一般論を展開するときはどうしてもお世話にならざるをえないだろう.
そういうときにきちんと証明を追いかけるのだろうか.

より極端なケースは未証明の予想の成立を仮定して議論する場合だ.
谷山-志村予想 (Wiles の定理) は志村が虚数乗法を持つときに予想が正しいことを
証明して予想の正しさをある程度確立したあと,
どんどん数論界隈では信頼性が高まっていったようだが,
完全に証明されていない状態でそれ仮定した場合を問題にしている.
最初に挙げたケースは「証明されている命題は自分でもきちんと証明を確認する」という話だが,
この場合はやはり絶対に使わないのだろうか.
もちろんそういうスタンスはありうるし,
もっといえば谷山-志村予想を正しいと思っていても
証明されるまで自分の仕事には使わないというスタンスもありうる.

全くまとまらないまま今回はここで終えるが,
まあ色々あるということでご勘弁頂きたい.

追記

次のコメントがあったので追記しておく.

少し話がずれるが, 個人的に証明読んだこともないのにものすごい実感がある定理として
Haar 測度の存在がある.
以前はよく使うのだし証明読まないと, と結構真剣に思っていたが,
適当な位相群には存在するというのを何度となく聞いて
しかもずっと使っているうちに当たり前のものになってしまった.
もはや疑うべくもない実感としてある.
使ったのは相対論的場の量子論界隈での
Poincare 群とか Lorenz 群あたりの本当に少ない具体例でだけなのだが,
不思議なものだ.


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