$X$, $Y$ が Hausdorff で $f \colon X \to Y$ が連続な全単射のときに $f$ が同相になることが示せない方の市民だった

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「$X$, $Y$ を Hausdorff な位相空間とし, $f \colon X \to Y$ を連続な全単射とする.
このとき $f$ が同相になる」という命題があるが, 証明を忘れてしまった.
$X$ がコンパクトならすぐ分かるが, このコンパクト性は必要なのだろうか,
というしょうもないところではまりまくっている方の市民だった.
なさそうなら反例を自分で作れ, という話なのだが.

とりあえず, 備忘録としてコンパクトのときの証明はつけておこう:
逆写像が連続であることを言えばいい.
$A \subset X$ を $X$ の閉集合とすると, $X$ がコンパクトなので $A$ もコンパクト.
Hausdorff 空間では連続写像によるコンパクト集合の像はコンパクトなので,
$(f^{-1})^{-1} (A) = f (A)$ はコンパクトになる.
$Y$ は Hausdorff なので $f (A)$ も閉集合になる.

これ, $Y$ の方の Hausdorff 性もやはり必要なのだろうか.
位相空間論弱者な方の市民だったのでつらみ高まる.

追記

しゅそくさんから反例があることを教えて頂いた.
参考ページはここ.
転記しておこう.

$X$ を位相空間とし, $f \colon X \to X$ を連続全単射とします.
また, 両方の $X$ には同じ位相が入っているものとします.
このとき $f^{-1}$ は連続になるでしょうか?
何となく反例がありそうだ, との予想が立っていますが, どうでしょうか?

二元以上含む集合 $A$ の整数で添字付けられた可算個のコピー $A_n$ たちを考え,
負の $n$ に対しては $A_n$ に離散位相を, 非負の $n$ に対しては $A_n$ に密着位相を入れて, $X$ を $A_n$ たちの直和とする.
$f \colon X \to X$ を $A_n$ から $A_{n+1}$ への恒等写像たちをつなぎあわせてできる写像とすれば,
$f$ は全単射連続写像ですが $f^{-1}$ は連続ではありません.

これは上手い反例ですね ! 他の反例も見てみたいので引き続き回答を募集したいと思います.

K.George さんの例を少し変更すると Hausdorff 空間で反例が作れるようです.
$g : A \rightarrow B$ を Hausdorff 空間間の全単射連続写像で $f^{-1}$ が連続でないものとします.
(たとえば $g : [0,1) \rightarrow \Bbb{R}/\Bbb{Z}, g (x)=[x]$.)
$A_n (n \in \Bbb{N})$ を
\begin{align}
A_n=\left{
\begin{array}{lr}
A & (n \leq 0) \
B & (n \geq 1)
\end{array}
\right.
\end{align}
と定め K.George さんと同じように $X$ を $A_n$ たちの直和とし $f \colon X \rightarrow X$ を
$f (A_n)=A_{n+1}$ で
\begin{align}
f|A_n= \left{
\begin{array}{cc}
id_A & n \leq -1 \
g & n=0 \
id_B & n \geq 1
\end{array}
\right.
\end{align}
となるものとして定めればいいです.

やはり K.George さんの例を少し変更すると compact 空間で反例が作れるようです.
compact かつ Hausdorff なら同相になりますが, このどちらの条件もはずせないということのようです.

K.George さんの例で特に $A$ を有限集合と取ります.
今度は直和でなく直積 $Y=\prod_{n=-\infty}^{\infty}A_n$ を考え $h : Y \rightarrow Y$ を
$h ({a_n}_{n=-\infty}^\infty) = {a_{n-1}}_{n=-\infty}^\infty$ と定めます.
すると $Y$ は compact で $h$ は全単射かつ連続ですが $h^{-1}$ は連続ではありません.

できるだけ簡単な平面集合ということで考えてみました.
$X={(x,y)\,|\, y \geq 0 \,\, \mathrm{or}\,\,y<x}$ を考えると,
全単射となる連続な $f : X \rightarrow X$ で, $f^{-1}$ が連続でないものが, 以下のようにして作れるようです.
$X$ は位相的には境界の一部を含む円板です.
基本的には, やはり K.George さんの例の焼き直しです.
\begin{align}
g (x)=\left{
\begin{array}{ll}
0 & (x \geq 0) \
x & (x<0)
\end{array}
\right.
\end{align}
として
\begin{align}
f (x,y)=\left{
\begin{array}{ll}
(x+1,y) & (y \geq 0) \
(x+1,y+g (x+1)-g (x)) & (y<0)
\end{array}
\right.
\end{align}
と定めればいいです.
$f$ は, $x$ 軸を境と見てファスナーを少し閉じる写像となっています.

位相空間の闇は深い.

さらに追記

Twitter で呟いたところ, 続々と反例とその作り方が集まりつつある.
「このくらいも自分で気付かないのか」という点で死ぬ程恥ずかしいが,
それはそれとして有り難い限りだ.

こいずみさんからのご意見はこちら.

@phasetr 大体の Hausdorff 空間 $X$ に対して id:($X$ に離散位相を入れたもの) $\to X$ は同相でない連続全単射なのでは……

@koizumi_fifty !!! 死にたい!!!

@phasetr (ごめんなさい)

@koizumi_fifty 死ぬほど恥ずかしいですが,
下手に指導教官の前とかで無くてよかったと積極的に前向きに捉えて今後の人生を生きていこうと思います

山元さんからのご意見はこちら

@koizumi_fifty @phasetr ついでに (?)
大体の compact 空間 $X$ に対して id: $X \to$ ($X$ に密着位相を入れたもの) は compact 集合間の同相でない連続全単射

MarriageTheorem さんからのご意見はこちら.

@phasetr 既出かもしれないと思いますが,
この手の命題については $X$ に離散位相を入れたり $Y$ に密着位相を入れたりする (後者は表題とは無関係ですが) と色々と捗ることが多いです.


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  1. 普通の空間だと[0,1)の両側くっつけてS^1にするのが一番簡単ではないでしょうか

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