$\mathbb{Q}$ 上連続だが $\mathbb{R}$ に連続拡張できない関数の例: 指数関数の定義域の拡張に関連して

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教育的な非常によい例だと思ったので.

@hyuki @mathpico 次回、ミルカさんが指数関数の連続性について語ると予想しましたが、ミルカさんには黙っておいてください。
— Hiroyasu Kamo (@kamo_hiroyasu) 2014, 6月 6

@kamo_hiroyasu 連続性ですか!なんとなく結城先生は離散系がお好きなのかと思っていたので、それまた興味津々です。
— mathpico (@mathpico) 2014, 6月 6

@mathpico 高校数学での標準的な方法だと冪根を使って指数関数を有理数に拡張したあとで連続性を保つように実数に拡張していますが、最後が可能であることは自明では なくて高校数学ではたいていごまかしていますよね。ミルカさんがそこを突くことを期待しています。(ミルカさんには秘密)
— Hiroyasu Kamo (@kamo_hiroyasu) 2014, 6月 6

@kamo_hiroyasu なるほどです。関数の連続性…。つい「線が描けていたら、連続」って見た目で考えちゃうから危険ですね。大学時代、先生方から教わってきたのは「いや、それは当たり前じゃないんですよ」ってことでした。今思えば、貴重なことを教わっていたのですね。
— mathpico (@mathpico) 2014, 6月 6

@mathpico たとえば、f:Q→R, f(x)=0 if x^2<2, =1 if x^2>2 は連続ですが、連続性を保って定義域をRに拡大することはできません。指数関数でそれが起きないことを示すのは、簡単ではありません。
— Hiroyasu Kamo (@kamo_hiroyasu) 2014, 6月 6

@mathpico 天下りにマクローリン展開でexp(x)を定義して、任意のa>0に対してあるbが存在して、exp(bx)は冪根を使って有理数に対して定義されたa^xの実数全体への拡張になっていることを示すと楽ですが、高校の教科書に載せるのは無理ですね。
— Hiroyasu Kamo (@kamo_hiroyasu) 2014, 6月 6

@kamo_hiroyasu 拡張できない例を教えていただき、ありがとうございます。拡張できる場合しかイメージ出来ていなかったです。「なんでもだいたい都合よく出来てる」という出来上がった数学ばかりに触れているからですね。もっと謙虚に学びたいと思いました。
— mathpico (@mathpico) 2014, 6月 6

@kamo_hiroyasu マクローリン展開を高校生に教えるとなると、なんでもかんでも展開出来ちゃうイメージがつきそうですね…。
— mathpico (@mathpico) 2014, 6月 6

@kamo_hiroyasu ところで、微分方程式の解の存在から指数関数の存在を言う、みたいなことは出来ますか?(無知な質問で申し訳ありません)
— mathpico (@mathpico) 2014, 6月 6

@mathpico はい。x’-x=0, x(0)=1 の解としてexp(t)を定義する方法もあります。実数全体で定義できることを示すところがやや面倒です。
— Hiroyasu Kamo (@kamo_hiroyasu) 2014, 6月 6

@kamo_hiroyasu とても勉強になります。「どの辺りに難しさが潜んでいるか」を教えてくださり、ありがとうございますm(_ _)m。
— mathpico (@mathpico) 2014, 6月 6

(mathbb{Q}) 上連続になるが (mathbb{R}) に連続拡張できない関数,
DVD で取り上げたにも関わらずこういう場合の例にも使えることを理解していなかった.

実に恥ずかしいが, よい勉強になってしまった.


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    • 匿名
    • 2014年 10月23日

    簡単ではないってのは嘘なのでは?

      • phasetr
      • 2014年 10月23日

      かもさんの【指数関数でそれが起きないことを示すのは、簡単ではありません。】に関してでしょうか。
      どういう視座に立っているのか全く分かりませんが、
      高校数学からの話なので全然簡単ではないのでは。

        • 暇つ虫
        • 2014年 11月5日

        ここに書き込んだことを忘れてて返答遅くなりました。申し訳ないのです

        連続性から定義ということで
        e^r := lim[q∈Q → r]e^q
        とします
        これが連続なのは明らかです

        では上の極限が収束することを示せばいいわけですが右極限と左極限が一致することを示そうとすると
        e^a/e^b = e^(a-b) → 1 (a→r, b→r) ですから一致します

          • phasetr
          • 2014年 11月6日

          高校レベルでは実数の完備性もよくわかっていないですし、
          そこからして苦行であって簡単ではないのでは

  1. 冪根を使って有理数に対して定義された指数関数がQ上で連続であることが、全然、明らかなことではありません。

    ちなみに、赤攝也『実数論講義』
    http://www.nippyo.co.jp/book/6556.html
    も、冪根を使ってQ上で定義した指数関数をRに拡張する方法でR上の指数関数を定義していますが、凸関数の性質を使った長い議論でR上の連続性を証明しています。

      • phasetr
      • 2014年 11月10日

      コメントありがとうございます。
      思えば、そもそも $\mathbb{Q}$ 上での証明からしてやったことがなかったので、
      確かめもせずに適当なことを言ってはいけないと反省しました。

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