このサイトは学部では早稲田で物理を, 修士では東大で数学を専攻し, 今も非アカデミックの立場で数学や物理と向き合っている一市民の奮闘の記録です. 運営者情報および運営理念についてはこちらをご覧ください.
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作用素論ネタでとみながさんといろいろ話したのでまとめ.
こないだT:B(H)をブラケット(スペル忘れた)で定める作用素のスペクトル分解を悩んでた友人がいたんだが、全く役には立てなかったので、うん
— Tominaga (@masayotominaga) 2014, 10月 2
@masayotominaga 物理のディラックの記法の話なら、アレは数学的にはほとんど意味ないのでどうしようもないです。スペクトル測度で(普通に)処理するか、作用素を超関数の空間上の作用素と考え直して頑張るとかそのくらい
— 相転移P(市民) (@phasetr) 2014, 10月 3
その 2.
スペクトルの存在範囲を調べるときの証明方法とか、基本的にレゾルベント集合を調べて示したはずなので、幽霊感というか補集合感はけっこうあったな レゾルベント集合が人間でスペクトルは幽霊だとか言われたら、実用的な面から言ってまあわけわからんのだけども(イメージあるなら誰か教えて下さい)
— Tominaga (@masayotominaga) 2014, 10月 2
@masayotominaga 固有値として直接定義できる有限次元と違って定義そのものがレゾルベントの補集合となっているので、証明方法はどうしようもない感がないでもないです
— 相転移P(市民) (@phasetr) 2014, 10月 2
@phasetr 確かに全単写「であること」の方が示しやすいのは確かですね…
— Tominaga (@masayotominaga) 2014, 10月 2
@masayotominaga 後のポイントはレゾルベントが有界作用素として定義してあることです。有界ならありとあらゆる乱暴なことがかなりうまく働くので
— 相転移P(市民) (@phasetr) 2014, 10月 2
@phasetr えっと、「レゾルベントが有界作用素として定義してあること」とは実数の集合としてのレゾルベント集合ではなく吉田近似をするためのあれのお話でしょうか(両者の関連についてあまりよく理解していないもので…)
— Tominaga (@masayotominaga) 2014, 10月 2
@masayotominaga スペクトルを調べるのに作用素としてのレゾルベントを使う方の話です。私がやっているのは主に複素ヒルベルト空間の話ですが、(A-zI)^{-1}をzの複素関数と思って解析接続していってスペクトルを調べるとかそういうのをやります
— 相転移P(市民) (@phasetr) 2014, 10月 2
@phasetr 例えば非有界作用素Aはどのようなものかお聞きしてもいいですか?
— Tominaga (@masayotominaga) 2014, 10月 2
@masayotominaga 私の場合は場の量子論のハミルトニアンです。ゆきみさんあたりが多少関係しているのは量子力学のシュレディンガー作用素で、シュレディンガーを微分方程式と見るよりも作用素と見て作用素特性調べたい時にちょこちょこ作用素としてのレゾルベントの解析が出てきます
— 相転移P(市民) (@phasetr) 2014, 10月 2
@masayotominaga 特にスペクトルに固有値がある場合、固有値は複素関数(A-zI)^{-1}の極(必要なら内積をとって本当に複素関数にする)になるのでそれを使って固有値の情報を取りに行きます
— 相転移P(市民) (@phasetr) 2014, 10月 2
@phasetr あ、触れたことのないお話です。個人的に興味があります(今の学びに有用かとかは全く解りませんが 笑) 機会があれば教えていただきたいです
— Tominaga (@masayotominaga) 2014, 10月 2
@masayotominaga そのうち京都、大阪あたりに適当に強行して、普段やっているような何か適当なセミナーでもしたいとは思っています。誰に何話すかというアレはあるのですが
— 相転移P(市民) (@phasetr) 2014, 10月 2
@masayotominaga もっと一般にはレゾルベント自体グリーン作用素と呼ばれてこれの作用素核関数としてのグリーン関数調べたり、多様体上のラプラシアンのグリーン作用素からスペクトルを調べて幾何的な情報を引き出す話まであります
— 相転移P(市民) (@phasetr) 2014, 10月 2
@phasetr なるほど、興味深いお話をありがとうございました
— Tominaga (@masayotominaga) 2014, 10月 3
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