解説『やさしい理系数学』第 13 章 関数と数列の極限 例題 39 問題1-3

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『やさしい理系数学』は「内容はいいのに解説が少ない」という評判なので,
ここではその解説部分を補充する形でやっていきます.

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やさしい理系数学 第 13 章 関数と数列の極限 例題 39 問題1-3

問題 1-3

(3) 次の極限値を求めよ.

\begin{align} &\lim_{n \to \infty} (\frac{1}{n^2 + 1} + \frac{1}{n^2+2} + \frac{1}{n^2+3} + \cdots + \frac{1}{n^2+n}), \\ &\lim_{n \to \infty} \{\frac{1}{2} (1 + \frac{1}{n}) (1 + \frac{1}{n+1}) (1 + \frac{1}{n+2}) \cdots (1 + \frac{1}{2n})\}^n. \end{align}

ポイント: 問題 1-3

問題 1-1 と同じ.

方針: 問題 1-3

1 番目の式

はさみうちの原理で上下からどうおさえるかがポイントだ.
この問題だと「極限値を求めよ」となっているが次の問題では「収束か発散か」も決定しないといけないし,
収束するかしないか見抜く力を鍛えることも大事.
和で書き直しつつ収束・発散を考えていこう.
数列ではなく級数の収束を考える場合,
一般項の分水嶺は \(1/n^{1}\) であることを証明つきで覚えておいてほしい.
参照しやすいように命題の形でまとめておこう.

命題
\(\sum_{n=1}^{\infty} 1/n^{k}\) の収束・発散を考えると,
\(c > 0\) として一般項が \(1/n^{1+c}\) なら収束するが, \(1/n\) または \(1/n^{1-c}\) のときは発散する.

2 番目の式

これもやはり定型的な問題だが, 1 度見ておかないと変形法が思いつかないだろう.
積の各項の分母が 1 つ大きくなっていくのをどう処理するかがポイントで,
わざと 1 を切り分けているところが嫌らしいのだが,
それがないと超がつくほど簡単な問題になってしまうというのも面白い.
これの和のバージョンもあって telescope method (日本語訳は知らない) と言うことがある.
また指数と対数にのせることで和を積に, 積を和に変換できることも覚えておこう.

最後に: 気軽に質問してください

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