解説『やさしい理系数学』第 13 章 関数と数列の極限 例題 40

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『やさしい理系数学』は「内容はいいのに解説が少ない」という評判なので,
ここではその解説部分を補充する形でやっていきます.

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やさしい理系数学 第 13 章 関数と数列の極限 例題 40

問題

関数

\begin{align} f(x) = \lim_{n \to \infty}\frac{x^{n+1} + (x^2 – 1) \sin ax}{x^n + x^2 – 1} \end{align}が全ての \(x\) に対して連続となるような正の定数 \(a\) の最小値を求め,
そのときの \(y=f(x)\) のグラフを描け.

ポイント

ポイントは極限関数を求めるための場合分けだ.
ここがいい加減だと \(a\) が決まらなくなるか間違う.
必ずしも難しくないが丁寧な議論を時間内にやりきれるか,
着想の方向が適切かを求められる問題だ.

方針

極限で得られる関数をまず求める必要があり,
そのための場合分けがきちんとできる必要がある.
はじめから \(a\) に見当がつくはずもないし,
地道な第 1 歩として極限関数が求められるかが勝負だ.

割と鬱陶しいのは分子に \(x^{n+1}\) があり分母に \(x^{n}\) がいることだ.
分子の方がオーダーが大きいので \(n \to \infty\) で発散しそうな気がしないでもない.
もちろんそんなことはないのだが, ぱっと見で不安になったままにしてはいけない.
何にせよ \(n\) が絡むのは \(x^{n}\) のところなので,
\(x\) の値によって場合分けしていく必要がある.
真っ先に思うのは \(|x| > 1\) と \(|x| < 1\) の場合分けだろう.
\(|x| > 1\) なら \(f(x) = x\), \(|x| < 1\) なら \(f(x) = \sin ax\) になる.

試験本番の精神状態で勝負をわけるのは \(x = \pm 1\) の処理だろう.
冷静ならきちんとそれぞれの計算をしにいけるだろうが,
どちらも一緒だと思って処理してしまうとひどいことになる.
きちんと \(f(1) = 1\), \(f(-1) = \lim (-1)^{n+1} / (-1)^{n} = -1\) を導く.

ここまでくれば \(f(x)\) が完全にわかったので,
あとは連続になるように \(a\) を決めればいい.
\(x = \pm 1\) の接続問題になるのでそこをきちんとおさえきる.
\(a\) は「正の定数」と言っているのでそこも踏まえないと \(a\) がたくさんあると答えてしまう.
冷静ならそんなことはしなくても試験本番でやらないよう,
普段から問題文はきちんと読む癖をつけること.

最後に: 気軽に質問してください

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