解説『やさしい理系数学』第 13 章 関数と数列の極限 例題 39 問題 2-1

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『やさしい理系数学』は「内容はいいのに解説が少ない」という評判なので, ここではその解説部分を補充する形でやっていきます. どんどんアウトプットすることが大事です. 積極的に解答を書いて私まで送ってくださいね. メールや LINE だと式を書くのが大変でしょうから, 書いた紙を写真に撮って画像で送ってくれればいいですよ.

問題 2-1

(1) 次の無限級数の収束, 発散を調べ, 収束するものについてはその和を求めよ. \begin{align} &\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1) (n+2)}, \\ &\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}, \\ &\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2n – 1}. \end{align}

ポイント: 問題 2

級数の収束・発散に関しては次の命題が基本なので完璧にしておくこと. 命題 \(\sum_{n=1}^{\infty} 1/n^{k}\) の収束・発散を考えると, \(c > 0\) として一般項が \(1/n^{1+c}\) なら収束するが, \(1/n\) または \(1/n^{1-c}\) のときは発散する. あとは無限等比級数など基本的なところも意外と出てくる. 基礎・基本をなめてはいけない. 極限関係だからはさみうちの原理をいつだって考えないといけないので, その基礎となる不等式処理には習熟しておくこと.

方針: 問題 2-1

最初の式

これは上の判断基準, 命題がそのまま使えるから収束することはわかる. 極限値もきちんと計算しないといけなくて, そこで telescope method が出てくる. 今の場合, 具体的には部分分数分解だ. 次の 2 つの問題もそうだが, 一般項のオーダー, 和のオーダーを調べて収束するかどうかは見てすぐわかるようにしてほしい.

2 番目の式

命題がそのまま使えるから発散することはわかる. どう発散を示すかで, いつもは分子の有理化が基本だが, 今度は普通の有理化をすればいい. あとは勝手に telescope になる.

3 番目の式

命題がそのまま使えるから発散することはわかる. 解法は 2 つあって, 和が収束するなら一般項は 0 に収束するという定理があるから, そちらに落としてもいい. 和をダイレクトに計算するなら不等式処理をうまく使う. 難しくはないが, やはり慣れていないと大変だろう.

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