解説『やさしい理系数学』第 13 章 関数と数列の極限 例題 39 問題 2-3

この記事は2分で読めます

このサイトは学部では早稲田で物理を, 修士では東大で数学を専攻し, 今も非アカデミックの立場で数学や物理と向き合っている一市民の奮闘の記録です. 運営者情報および運営理念についてはこちらをご覧ください.

中高の数学の復習から専門的な数学・物理までいろいろな情報を発信しています.
中高数学に関しては自然を再現しよう役に立つ中高数学 中高数学お散歩コース
大学数学に関しては現代数学観光ツアーなどの無料の通信講座があります.
その他にも無料の通信講座はこちらのページにまとまっています.
ご興味のある方はぜひお気軽にご登録ください!


次の本を元に脳内授業の例, 数学版をたくさん出していきます.
やさしい理系数学 三訂版 (河合塾シリーズ, 河合出版)
勉強法として脳内授業をお勧めしています.
また見ていない方は次のページや
Kindle にまとめた書籍を参考にしてください.

『やさしい理系数学』は「内容はいいのに解説が少ない」という評判なので,
ここではその解説部分を補充する形でやっていきます.

大学受験に限らず何か聞きたいことがあれば

このページを参考に気軽に質問してください.

必要な情報がなく, 適切なアドバイスができないことが多いためです.

リンク先のページには LINE・メールの連絡先も書いてあります.

どんどんアウトプットすることが大事です.
積極的に解答を書いて私まで送ってくださいね.
メールや LINE だと式を書くのが大変でしょうから,
書いた紙を写真に撮って画像で送ってくれればいいですよ.

問題 2-3

(3) \(0 < a < 1\) のとき, \(\lim_{n \to \infty} n^r a^n = 0\), \(r=1\), \(2\) を示し,
次の無限級数の和を求めよ.

\begin{align} &\sum_{n=1}^{\infty} n a^n, \\ &\sum_{n=1}^{\infty} n (n-1) a^n. \end{align}

ポイント: 問題 2

級数の収束・発散に関しては次の命題が基本なので完璧にしておくこと.

命題
\(\sum_{n=1}^{\infty} 1/n^{k}\) の収束・発散を考えると,
\(c > 0\) として一般項が \(1/n^{1+c}\) なら収束するが, \(1/n\) または \(1/n^{1-c}\) のときは発散する.

あとは無限等比級数など基本的なところも意外と出てくる.
基礎・基本をなめてはいけない.
極限関係だからはさみうちの原理をいつだって考えないといけないので,
その基礎となる不等式処理には習熟しておくこと.

方針

まず \(n^r a^n \to 0\) の証明は完璧に覚えてしまってほしい.
不等式処理への慣れという点でも参考になるだろう.
あとは等比級数の微分から求める和が計算できることに気付けるかだ.
一般項が \(n a^{n-1}\), \(n(n-1)a^{n-2}\) だったらもっとわかりやすいのだが,
そこをひねっているのが難しくなるポイントだ.
これも「よくわかっている級数を微分・積分して新しい級数の和を得る」というよく出てくる話なのでやはり覚えてしまうのがいい.
特に 2 番目の式は計算が割と面倒なのでミスしない計算力が必要.

最後に: 気軽に質問してください

大学受験に限らず何か聞きたいことがあれば

このページを参考に気軽に質問してください.

必要な情報がなく, 適切なアドバイスができないことが多いためです.

リンク先のページには LINE・メールの連絡先も書いてあります.


中高の数学の復習から専門的な数学・物理までいろいろな情報を発信しています.
中高数学に関しては自然を再現しよう役に立つ中高数学 中高数学お散歩コース
大学数学に関しては現代数学観光ツアーなどの無料の通信講座があります.
その他にも無料の通信講座はこちらのページにまとまっています.
ご興味のある方はぜひお気軽にご登録ください!

  • このエントリーをはてなブックマークに追加
  • LINEで送る

関連記事

  • コメント (0)

  • トラックバックは利用できません。

  1. この記事へのコメントはありません。

このサイトについて

数学・物理の情報を中心にアカデミックな話題を発信しています。詳しいプロフィールはこちらから。通信講座を中心に数学や物理を独学しやすい環境づくりを目指して日々活動しています。
  • このエントリーをはてなブックマークに追加
  • LINEで送る

YouTube チャンネル登録

講義など動画を使った形式の方が良いコンテンツは動画にしています。ぜひチャンネル登録を!

メルマガ登録

メルマガ登録ページからご登録ください。 数学・物理の専門的な情報と大学受験向けのメルマガの 2 種類があります。

役に立つ・面白い記事があればクリックを!

記事の編集ページから「おすすめ記事」を複数選択してください。