解説『やさしい理系数学』第 13 章 関数と数列の極限 例題 39 問題 2-3

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『やさしい理系数学』は「内容はいいのに解説が少ない」という評判なので,
ここではその解説部分を補充する形でやっていきます.

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問題 2-3

(3) \(0 < a < 1\) のとき, \(\lim_{n \to \infty} n^r a^n = 0\), \(r=1\), \(2\) を示し,
次の無限級数の和を求めよ.

\begin{align} &\sum_{n=1}^{\infty} n a^n, \\ &\sum_{n=1}^{\infty} n (n-1) a^n. \end{align}

ポイント: 問題 2

級数の収束・発散に関しては次の命題が基本なので完璧にしておくこと.

命題
\(\sum_{n=1}^{\infty} 1/n^{k}\) の収束・発散を考えると,
\(c > 0\) として一般項が \(1/n^{1+c}\) なら収束するが, \(1/n\) または \(1/n^{1-c}\) のときは発散する.

あとは無限等比級数など基本的なところも意外と出てくる.
基礎・基本をなめてはいけない.
極限関係だからはさみうちの原理をいつだって考えないといけないので,
その基礎となる不等式処理には習熟しておくこと.

方針

まず \(n^r a^n \to 0\) の証明は完璧に覚えてしまってほしい.
不等式処理への慣れという点でも参考になるだろう.
あとは等比級数の微分から求める和が計算できることに気付けるかだ.
一般項が \(n a^{n-1}\), \(n(n-1)a^{n-2}\) だったらもっとわかりやすいのだが,
そこをひねっているのが難しくなるポイントだ.
これも「よくわかっている級数を微分・積分して新しい級数の和を得る」というよく出てくる話なのでやはり覚えてしまうのがいい.
特に 2 番目の式は計算が割と面倒なのでミスしない計算力が必要.

最後に: 気軽に質問してください

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