解説『やさしい理系数学』第 13 章 関数と数列の極限 例題 39 問題 2-2

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次の本を元に脳内授業の例, 数学版をたくさん出していきます. やさしい理系数学 三訂版 (河合塾シリーズ, 河合出版) 勉強法として脳内授業をお勧めしています. また見ていない方は次のページや Kindle にまとめた書籍を参考にしてください.

『やさしい理系数学』は「内容はいいのに解説が少ない」という評判なので, ここではその解説部分を補充する形でやっていきます. どんどんアウトプットすることが大事です. 積極的に解答を書いて私まで送ってくださいね. メールや LINE だと式を書くのが大変でしょうから, 書いた紙を写真に撮って画像で送ってくれればいいですよ.

問題 2-2

(2) 次の無限級数の和を求めよ. \begin{align} &\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x}{(1+x^2)^n}, \\ &\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1 + r + r^2 + \cdots + r^n}{(1+r)^n}, \quad (r>1). \end{align}

ポイント: 問題 2

級数の収束・発散に関しては次の命題が基本なので完璧にしておくこと. 命題 \(\sum_{n=1}^{\infty} 1/n^{k}\) の収束・発散を考えると, \(c > 0\) として一般項が \(1/n^{1+c}\) なら収束するが, \(1/n\) または \(1/n^{1-c}\) のときは発散する. あとは無限等比級数など基本的なところも意外と出てくる. 基礎・基本をなめてはいけない. 極限関係だからはさみうちの原理をいつだって考えないといけないので, その基礎となる不等式処理には習熟しておくこと.

方針: 問題 2-2

最初の式

試験本番では勝負になる問題だ. 単純な無限等比級数の問題と思いきや, 割と面倒. 単純な無限等比級数と思って計算したあとに「このままではまずい」と思えるかどうかが分水嶺. 場合分けをなめてはいけない.

2 番目の式

一般項の分子が和になっているので, 分子・分母の 1 セットの処理でミスしない計算力が大事になる.

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