解説『やさしい理系数学』第 13 章 関数と数列の極限 例題 39 問題 3

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また見ていない方は次のページや
Kindle にまとめた書籍を参考にしてください.

『やさしい理系数学』は「内容はいいのに解説が少ない」という評判なので,
ここではその解説部分を補充する形でやっていきます.
正式な解答についてはきちんと本を買って確認してください.

それでは問題解説をはじめましょう.

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問題 3

次の極限値を求めよ.

(1)

\begin{align} & \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} – 1}{x^3 – 1}, \\ & \lim_{x \to – \infty} \frac{\sqrt{x^2 – 2x -3} – x}{x+1}. \end{align}(2)

\begin{align} & \lim_{x \to 0} \frac{e^{x} – e^{-x}}{x}, \\ & \lim_{x \to \infty} x \{\log (x+2) – \log x \}. \end{align}(3)

\begin{align} & \lim_{x \to 0} \frac{\tan x – \sin x}{x^3}, \\ & \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \cos 3x \tan 5x. \end{align}

ポイント: 問題 3

これも定型処理だ.
ルートがあったら有理化, 次の命題を元にオーダーを見る,
微分係数の計算に落としてみる, 関数の特殊値を補助する, といったあたりを完璧に身につける.

命題
\(\sum_{n=1}^{\infty} 1/n^{k}\) の収束・発散を考えると,
\(c > 0\) として一般項が \(1/n^{1+c}\) なら収束するが, \(1/n\) または \(1/n^{1-c}\) のときは発散する.

方針: 問題 3

(1) 1 番目の式

分子の有理化と因数分解の処理だけだ.
\(x = 1\) の振る舞いが問題なのだから \(x-1\) を括ることを考える.
分母は因数分解, 分子は有理化による.

(1) 2 番目の式

オーダーを見ると収束することはすぐわかる.
ルートの中の \(x^2\) の処理が問題で \(x \to – \infty\) の極限だから
\(\sqrt{x^2} = – x\) になることに注意する.

(2) 1 番目の式

微分係数の定義に落とせばいい.
ここでも telescope を使う方法で解ける.

(2) 2 番目の式

\(\log\) の差は引数の割り算に落ちるので, まずはそこまで落とせるかが鍵.
次は微分係数に落とせばいい.
自然対数の底の定義に落とし込んでもいい.

(3) 1 番目の式

三角関数のいろいろな式を使いこなせるかがポイントだ.
また分母に \(x^3\) があって \(\sin x / x \to 1\) \((x \to 0)\) なのでここに落とし込もうと思えるかが鍵になる.

ちょっと高級な視点から見ると, 分母が \(x^3\) のオーダーになることはわかる.
\(x\) が小さいと \(\tan x \sim \sin x \sim x\) になること,
\(\tan\) と \(\sin\) は奇関数だから多項式で見るなら奇数次の項しか出てこないことを考えると,
うまいこと \(x^3\) の項がキャンセルしあってくれると期待できる.
これは次の問題の処理の処理でも共通する視点だ.

(3) 2 番目の式

三角関数の式変形をした上で微分係数の議論に落とし込むことがポイントだ.
\(\theta = x – \pi / 2\) と変数変換した方がやりやすいだろう.

最後に: 気軽に質問してください

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