解説『やさしい理系数学』第 14 章 微分法とその応用 例題 42

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『やさしい理系数学』は「内容はいいのに解説が少ない」という評判なので,
ここではその解説部分を補充する形でやっていきます.

やさしい理系数学 第 14 章 微分法とその応用 例題 42

問題

次の曲線の概形を描け.

\begin{align} &C_1: y = \frac{x}{x^2 + 2x + \frac{3}{4}}. \label{univ-entrance-exam67} \\ &C_2: x = \frac{2}{1 – t^2}, \quad y = \frac{2t}{1-t^2}. \quad (- \infty < t < \infty) \label{univ-entrance-exam68} \\ &C_3: x = \sin \theta, \quad y = \sin 2 \theta. \quad (0 \leq \theta \leq \pi) \label{univ-entrance-exam69} \end{align}

ポイント

基本的には頑張って微分して増減を丁寧に追いかけるだけ.
パラメータ表示されている場合, パラメータの変化から
\(x\), \(y\) 両方を追いかけないといけないので慣れが必要だろう.
さらにパラメータの取り得る範囲によっては,
図形の一部しか描かないことがあるので,
その条件をきちんと考え抜く必要がある.
最後の詰めまで気を抜いてはいけない.
双曲線 \(y = 1/x\) を考えればわかるように,
有理関数では分母が 0 になるところでは値が \(\pm \infty\) になる.
どちらから近付くかによって正負が変わる場合も多い.

小手先の知識ではあるが, 自然数 \(m\), \(n\) に対して
\(x\), \(y\) が両方とも適当な \(\sin m \theta\), \(\cos n \theta\) で与えられる曲線を
リサージュ (Lissajous) 曲線と呼ぶ.
\(\theta\) に関して明らかな周期性があるので,
それをうまく使ってグラフを描くとミスが減る.

方針

あまり言うことがない.
ポイントにも書いたように最後の詰めまできっちりこなすこと.


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