解説『やさしい理系数学』第 15 章 積分法とその応用 例題 46 名古屋大

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やさしい理系数学 三訂版 (河合塾シリーズ, 河合出版)

勉強法として脳内授業をお勧めしています.
また見ていない方は次のページや
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『やさしい理系数学』は「内容はいいのに解説が少ない」という評判なので,
ここではその解説部分を補充する形でやっていきます.

解説『やさしい理系数学』第 15 章 積分法とその応用 例題 46 名古屋大

問題 (名古屋大)

関数 \(f(x)\) (\(a \leq x \leq b\)) が正の第 2 次導関数をもつとき,
曲線 \(C \colon y = f(x)\) の上に点 P をとって,
P における接線 \(l\) とこの曲線 \(C\) および
2 直線 \(x=a\) と \(x=b\) で囲まれた部分の面積を最小にするには,
点 \(P\) をどのように取ればよいか.

ポイント・方針

面積で最大最小問題だから当然微分と積分が基本だ.
2 階の導関数の条件をどう使うか,
すぐには見えないので頑張って計算を進めていくしかない.

面積に限らず弧長や体積でも幾何学的に考えて計算量を減らす工夫が大事だ.
幾何学的に言うなら 2 階導関数の条件から凸性が言えるのでそれを使う方針もある.

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