解説『やさしい理系数学』第 15 章 積分法とその応用 例題 48 頻出問題

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やさしい理系数学 三訂版 (河合塾シリーズ, 河合出版)

勉強法として脳内授業をお勧めしています.
また見ていない方は次のページや
Kindle にまとめた書籍を参考にしてください.

『やさしい理系数学』は「内容はいいのに解説が少ない」という評判なので,
ここではその解説部分を補充する形でやっていきます.

解説『やさしい理系数学』第 15 章 積分法とその応用 例題 48 頻出問題

問題 (頻出問題)

原点を中心とする半径 4 の円 \(C\) に,
半径 1 の円 \(C’\) が内接しながらすべることなく 4 回転して元の位置に戻るとき,
\(C’\) 状の点 \(\mathrm{P}(x, y)\) が描く奇跡を \(K\) とする.
ただし, 点 P は最初, 点 (4, 0) にあるものとする.

(1) 曲線 \(K\) の方程式は

\begin{align} K \colon \begin{cases} x = 4 \cos^3 \theta, \\ y = 4 \sin^3 \theta \end{cases} \quad (0 \leq \theta \leq 2 \pi) \end{align}で与えられることを示せ.

(2) \(K\) 上の点 \(\mathrm{P}_0 (x_0, y_0)\) における接線が,
\(x\) 軸と \(y\) 軸により切り取られる線分の流さは, \(\mathrm{P}_0\) の位置によらず一定であることを示せ.
ただし, \(x_0 y_0 \neq 0\) とする.

(3) 曲線 \(K\) の弧長を求めよ.

(4) 曲線 \(K\) で囲まれる部分の面積 \(S\) を求めよ.

(5) 曲線 \(K\) で囲まれる部分を \(x\) 軸のまわりに 1 回転して得られる立体の体積 \(V\) を求めよ.

ポイント・方針

幾何学的な考察やベクトルとの融合問題でよくある問題なので,
絶対に取りこぼしてはいけないタイプの問題だ.
(1) を落としたら洒落にならないのだが,
この手の問題をやった経験が少なかったり復習が足りていないと落とすだろう.
「すべらない」という条件をきちんと使えるかが勝負だ.
(2) はパラメータ表示の曲線の接線を求められさえすれば問題ない.
計算が少し面倒になるので, その人ごとに計算ミスしないようにする工夫がほしい.
(3) は完璧に定型処理だ.
パラメータ表示のときの弧長を素直に計算すればいい.
ルートの処理だけ少し問題になる.
(4) (5) はおまけなのでやらなくてもいい.
本には補足の解説で入っている.
積分の計算が面倒だし普通は出ないだろうが,
せっかくの応用問題なので入れておいた.

今回の \(K\) は特にアステロイドと呼ばれる曲線だが,
一般にはハイポサイクロイドと呼ばれる曲線になる.
\(C’\) が外接して動くときはエピサイクロイドと呼ばれる.
この場合, 特に円の半径が同じだとカージオイドになる.

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