【解説】『やさしい理系数学』第 12 章 式と曲線 例題 37 有名問題

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『やさしい理系数学』は「内容はいいのに解説が少ない」という評判なので,
ここではその解説部分を補充する形でやっていきます.

【解説】『やさしい理系数学』第 12 章 式と曲線 例題 37 有名問題

問題 1

\(x\) の分数関数 \(f(x) = \frac{ax – 3}{x + 1}\) に対して,

\begin{align} &f_2(x) = f(f(x)), \quad f_3(x) = f(f_2(x)), \quad \cdots, f_n(x) = f(f_{n-1}(x)), \\ &\text{ただし, } n \text{は整数で } n \geq 2, \quad f_1(x) = f(x) \end{align}を考える.

(1) \(f(x)\) の逆関数 \(f^{-1}(x)\) を求めよ.

(2) \(f^{-1}(x) = f_2 (x)\) となるような \(a\) の値を求めよ.

(3) \(a = 1\) のとき, \(f_2(x)\), \(f_3(x)\), \(f_n(x)\) を求めよ.

ポイント・方針: 問題 1

これは逆関数と関数の合成に関する典型的な問題だ.
やはり定型処理をきちんと覚えておかないといけない.
(1) は素直に逆関数を求めればいい.
定義を知らないとどうしようもないのできちんと定義を確認すること.
複雑な関数で出すと計算が異常なくらい大変になるし,
そもそも逆があるかどうかの確認から必要になるので,
分母・分子が 1 次の分数関数での出題が多いだろう.
その意味でもこの問題の演習価値は高い.

結果からいうと (2) は (3) のヒント・誘導だが,
逆に (3) を見ておくと「(2) は (3) の誘導のはずだから
(3) 自体も (2) を解く上のヒントになるはずだ」と思えると結果の検算に使える.
実際に解けばわかるが, \(a\) の値として \(a=1\) が本当に出てくるからだ.
\(a=1\) が出てこなかったから計算をミスした可能性があると判断できる.
こういう「テクニック」は国語や英語ではよく言われるはずだ:
特にセンターやマーク式試験で先に設問と選択肢を見てから問題文を読みはじめる手法があるが,
数学の試験でも使える.
小手先のことだが, 得点を取りにいかないといけない試験だから使える技術は積極的に使っていこう.
方針としては直接計算してからの比較しかない単調な道だ.
考え抜いた上での発想とかそういうレベルの話ではない.

(3) は (2) の誘導をうまく使うと計算が減らせる.
計算が減らせるということはミスも減らせるということだ.
何度も言っているが, こういう基本を馬鹿にしてはいけない.
愚直に計算するしかなく, 方針については特に言うことはない.
他の問題でいっている「実験」という手法が身についていれば,
何はともあれ計算してみようと思うはずだ.
「数学実験」も確実に身につけてほしい.

問題 2 (有名問題)

\(xy\) 平面上において, 不等式 \(y^2 > 2x\) で表される領域を \(D\) とし,
\(D\) 内の点 \((a, b)\) から放物線 \(C \colon y^2 = 2x\) に引いた 2 接線の
2 接点を通る直線 (これを点 \((a,b)\) の \(C\) に関する極線という) を \(l\) とする.

\(l\) 上の \(D\) 内にある任意の点の \(C\) に関する極線はつねにある定点を通ることを示し,
その定点を求めよ.

ポイント・解説: 問題 2

図形の問題なので, とりあえず絵を描いて「実験」してみよう.
実際に通る定点があるのか, あったとしたらどこになりそうかを調べてみるのだ.
もちろん手では正確な図は描きようがないのだが,
何となく検討がつけば儲けものだし,
検討がつかなければつかないで別にいい.
特に「極線」というここで定義された概念があるのでそれが何かを把握すること,
問題の設定を理解する役にも立つからだ.

問題文中で定義された極線をどこまで理解できているかという国語の問題でもある.
何がどの図形の上にあるかを意識しながら議論を進める必要があり,
頭が混乱してくるだろう.
かなりの難問だ.

「\(y^2 > 2x\) で表わされる領域」というのにびびってはいけない.
「\(2y < x^2\) で表わされる領域」と言われればすぐわかるように,
単に放物線の「外側」の領域だ.
「そんなのは当たり前だろう」と思う人もいるだろうが,
演習が足りていないとこれだけでも惑わされるのだ.

中学以来やってきているはずだが,
通る 2 点を決めるとそれを通る直線はただ 1 つに決まる.
満たす関係式から新たに直線をひねり出すアクロバティックな部分があり,
ここがこの問題の最大の山場で面白いところだ.
面白い問題なので解答を見て楽しんでもらいたい.

基本的なことだが,
一般の 2 次曲線の接線の方程式の公式もこの機会に復習しておこう.
この問題では単純な放物線の接線なので微分でも簡単に出せるが,
他の場合, 微分からでは面倒になることも多い.

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