解説『やさしい理系数学』第 7 章 積分法 例題 23

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やさしい理系数学 三訂版 (河合塾シリーズ, 河合出版)

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『やさしい理系数学』は「内容はいいのに解説が少ない」という評判なので,
ここではその解説部分を補充する形でやっていきます.

解説『やさしい理系数学』第 7 章 積分法 例題 23

問題

(1) 放物線 \(C \colon y = f(x) = ax^2 + bx + c\) 上の 2 点
\(\mathrm{A} (\alpha, f(\alpha))\), \(\mathrm{B} (\beta, f(\beta))\) (\(\alpha < \beta\)) における接線 \(y = l_{\mathrm{A}}(x)\), \(y=l_{\mathrm{B}}(x)\) と
\(C\) とで囲まれる図形の面積 \(S_1\), 直線 \(\mathrm{AB} \colon y = l_{\mathrm{AB}}(x)\) と \(C\) とで囲まれる図形の面積 \(S_2\),
および面積比 \(S_1 \colon S_2\) を求めよ.

(2) 放物線 \(C \colon y = ax^2 + bx + c\) と放物線 \(C’ \colon y = ax^2 + b’x + c’\) (\(b \neq b’\)) との共通接線を
\(l \colon y = l(x)\) とし, \(l\) と \(C\), \(C’\) との 2 接点 \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\) の \(x\) 座標を
\(\alpha\), \(\beta\) (\(\alpha < \beta\)) とするとき, \(C\), \(C’\) および \(l\) とで囲まれる図形の面積 \(S\) を求めよ.

(3) 3 次曲線 \(C \colon y = f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) 上の点 \(\mathrm{A}(\alpha, f(\alpha))\) における \(C\) の接線
\(y = l_{\mathrm{A}} (x)\) と \(C\) との交点を \(\mathrm{B} (\beta, f(\beta))\) とし,
\(\mathrm{B}\) における \(C\) の接線 \(y = l_{\mathrm{B}}(x)\) と \(C\) との交点を \(\mathrm{C}(\gamma, f(\gamma))\) とする.

\(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) が相異なるとき,
\(l_{\mathrm{A}}\) と \(C\) とで囲まれる図形の面積 \(S_1\),
\(l_{\mathrm{B}}\) と \(C\) とで囲まれる図形の面積 \(S_2\),
および面積比 \(S_1 \colon S_2\) を求めよ.

ポイント

素直に計算していくだけなのであまり言うことがない.
強いていうなら, この問題では使わないとはいえ,
問題文の指定から \(a \neq 0\) を常に意識することくらいか.
こういう場合分けはふだんから意識していないと肝心なところで抜けてしまう.

方針

(1)

素直にやっていけばよく, あまり言うことがない.
直線 \(l_{\mathrm{A}}\) と \(l_{\mathrm{B}}\) の交点の座標をきちんと求めること,
積分の計算をミスなくやり抜くことが大切.

(2)

(1) と同じ.

(3)

これは問題文があまりよくない.
問題文で使われている文字なので,
結果には \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) が残っていていいはずだが,
実際にはどれか文字を消去しないと綺麗な結果が出ないので【何だこれは】と思ってしまうだろう.
\(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) の間に関係を見つけ,
それで文字を 1 文字消去すると結果が綺麗になる.
この関係式をどう見つけるかがキーだ.

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