解説『やさしい理系数学』第 4 章 図形と方程式 例題 12 類題頻出

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『やさしい理系数学』は「内容はいいのに解説が少ない」という評判なので,
ここではその解説部分を補充する形でやっていきます.

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解説『やさしい理系数学』第 4 章 図形と方程式 例題 12 類題頻出

問題 (類題頻出)

\(xy\) 平面上の 2 直線

\begin{align} l_1 \colon mx – y + 2m = 0, \quad l_2 \colon x + my – 2 = 0 \end{align}の交点を \(\mathrm{P}\) とする.
\(m\) が全ての実数値を取って変わるとき, 交点 \(\mathrm{P}\) の軌跡を求めよ.

ポイント

  • パラメータ入りの直線が必ず通る点を調べる.
  • 直線の方向ベクトル・法ベクトル.
  • 求めたい図形が通る点・通らない点の吟味.
  • 幾何学的な視点と代数的視点: 直線の交点と連立方程式の解.
  • 実数パラメータ \(m\) を置換してみる.

基本的には次の 2 点に尽きる.

  • どうすれば \(m\) を消して \(x\), \(y\) の関係式に落とす.
  • \(m\) の動く範囲に気をつけて除外点がないか調べる.

また受験テクニックっぽくなるが,
だいたいは綺麗な図形になることも念頭に置いておくといい.
変な図形になるようだと受験生がさばき切れないからだ.
こう思うとよく知っている図形の幾何学的性質を使った解法も考えられるし,
むしろそうした知識がしっかりしていないと方針次第では解き切れないこともある.

方針

方針はいくつかある.
一番シンプルなのは,
何はともあれ連立 1 次方程式なのだから力づくで解いてみることだ.
2 つ方向がある.

  • 直接パラメータの \(m\) を消す.
  • \(x\), \(y\) を \(m\) で表してから \(m\) に関するパラメータ表示と思って数 III 的手法に訴える.

それぞれ本の【解答 2】と【解答 3】にあたる.
本質的には同じだが,
後者で式の形をうまく見ると計算の手間がもっと減らせる.
そう思うと【解答 4】も作れる.
力づくなのでかなり厳しい戦いになるかと思いきや,
この解答方針は計算も楽なので,
この問題に対してはよい方針と言える.
除外点の吟味を忘れないようにすること.

逆に面倒になってしまうが,
もう少し一般性のある方針というか,
別の視点・手法に親しむのも大切で, それが本の【解答 1】だ.
本の例題 11 でも使った手法,
つまりパラメータを含む直線が必ず通る点を見つけてそれを使う.
\(l_1\) は \(m(x+2) – y = 0\) と書けるので,
必ず点 \(\mathrm{A} (-2, 0)\) を通る.
さらに方向ベクトルは \((m, -1)\).
\(l_2\) も同じように考えると, 点 \(\mathrm{B}(2, 0)\) を通り,
方向ベクトルが \((1, m)\) だとわかる.
2 つの方向ベクトルが直交しているので,
点 \(\mathrm{P}\) は 2 定点 \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\) を直角に見込むので,
\(\mathrm{P}\) が描く軌跡は円になる.
もちろんこれは平面幾何の知識を使っている.
これも最後に除外点の吟味をする必要がある.

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