解説『やさしい理系数学』第 4 章 図形と方程式 例題 13 横浜国立大 典型問題

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『やさしい理系数学』は「内容はいいのに解説が少ない」という評判なので,
ここではその解説部分を補充する形でやっていきます.

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解説『やさしい理系数学』第 4 章 図形と方程式 例題 13 横浜国立大 典型問題

問題 (横浜国立大学, 典型問題)

(1) 【横浜国立大学】\(xyz\) 空間内の球面 \(S\) は 2 点 \(A (0, 0, 1)\), \(B(0, 1, 2)\) を通り,
\(xy\) 平面と接しながら動くとき, \(S\) と \(xy\) 平面との接点 \(C\) の軌跡 \(F\) を求めよ.

(2) 【典型問題】相異なる 3 直線 \(a_k x + b_k y = 1\) (\(k=1\), \(2\), \(3\)) が 1 点で交わるならば,
3 点 \((a_k, b_k)\) \((k=1,2,3)\) は同一直線上にあることを示せ.

ポイント

  • 図形の基本的な性質.
  • 場合分けなど条件の確認.
  • ベクトル.
    • 直交・平行のベクトルによる表現.

(2) の背景には 2 次曲線の極と曲線の概念がある.
これについて知りたければ例題 37 を参考にしてほしい.

方針

(1)

何はともあれ \(C\) の軌跡 \(F\) を求めたいのだから \(C(x, y, 0)\) と書く.
球面 (球) は球の中心 \(M\) と半径 \(r > 0\) で決まるし \(xy\) 平面と接しながら動く.
ここから求めるべき \(C\) の \(xy\) 座標を \((x, y)\) とすれば

\begin{align} M(x, y, r), \quad C(x, y, 0) \end{align}と書ける.
ここで \(M(x,y,z)\) として \(|z| = r\) としてもいいのだが,
幾何学的に考えると \(S\) が \(xy\) 平面に接するという条件から \(M (x,y,z)\) の \(z\) は \(z < 0\) にはならない.
だからはじめから \(z > 0\) として \(z = r\) としても一般性を失わない.

球面 \(S\) は \(A\), \(B\) を通るからそれを素直に書く:
球ではなく球面なので \(A\), \(B\) は表面上にあるわけで

\begin{align} AM^2 &= x^2 + y^2 + (r-1)^2 = r^2, \\ BM^2 &= x^2 + (y-1)^2 + (r-2)^2 = r^2. \end{align}求めたいのは \(x\), \(y\) の関係式だから \(r\) が余計だ.
\(r\) を潰すことを考えて計算したい.
とりあえずこれを辺々引くと.

\begin{align} y = 2 – r \Longrightarrow r = 2 – y \geq 0. \end{align}これを \(AM^2\) の式に代入すると

\begin{align} x^2 = -r^2 + 6r + 5 = – (r – 1)(r – 5) \geq 0. \end{align}ここから \(r \geq 0\) が動く範囲が \(1 \leq r \leq 5\) だとわかり,
\(-3 \leq y \leq 1\) という条件が出てくる.
改めて \(x\) と \(y\) の式にするために代入して

\begin{align} x^2 + (y-1)(y+3) = 0 \Longrightarrow x^2 + (y+1)^2 = 4. \end{align}\(-3 \leq y \leq 1\) という条件があったのでそれと合わせて考えれば答えが出る.

(2)

1 点で交わるといっているので,
まずその 1 点を \((p, q) \neq 0\) としよう.
ここで \((p, q) \neq 0\) としていい理由は 3 直線がこの点を通らないからだ.
まずは 3 点が同一直線上にある条件を数学的にどう書けばいいかを考えよう.
もちろん 1 番単純なのは適当な直線 \(ux + vy = w\) があって,
各点 \(A_i\) がこの直線上にあること, つまり

\begin{align} u a_i + v b_i = w, \quad i = 1, 2, 3 \end{align}が成立することだ.
もう 1 つは \(\overrightarrow{A_1 A_2} = k \overrightarrow{A_1 A_3}\) というようにベクトルで表現することもできる.

どシンプルなのはこう考えること:
\((p, q)\) は 3 直線を通るから

\begin{align} a_k p + b_k q = 1 \quad (k = 1, 2, 3). \end{align}ふつうここで止まると思う.
ただ上の意識があるなら \((a_k, b_k)\) (\(k=1,2,3\)) は \(px + by = 1\) と読めばいいとわかる.
もう 1 つは \(\vec{p} = (p, q)\) として
上の式を \(\overrightarrow{OA_i} \cdot \vec{p} = 1\) と読み替え,
\(\overrightarrow{A_1 A_2} \cdot \vec{p} = 0\), \(\overrightarrow{A_1 A_3} \cdot \vec{p} = 0\) などと書き換えていく.
内積 0 なので \(\overrightarrow{A_1 A_2}\) などは \(\vec{p}\) と直交するわけで,
\(\overrightarrow{A_1 A_2}\), \(\overrightarrow{A_1 A_3}\) が平行と読み替えられる.

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