解説『やさしい理系数学』第 5 章 三角・指数・対数関数 例題 14

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『やさしい理系数学』は「内容はいいのに解説が少ない」という評判なので,
ここではその解説部分を補充する形でやっていきます.

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解説『やさしい理系数学』第 5 章 三角・指数・対数関数 例題 14

問題 1

連立方程式

\begin{align} x^y = y^x, \quad \log_x y + \log_{y} x = \frac{5}{2} \end{align}を解け.

ポイント・方針: 問題 1

底が揃っていないと対数の計算がうまくいかないので適当に揃える.

問題 2

実数 \(x\), \(y\), \(z\) が関係式

\begin{align} 2^{x+1} + 3^{y} – 5^{z} = 10, \quad 2^{x+3} + 3^{y} – 5^{z+1} = 58 \end{align}をともに満たしながら変わるとき,

\begin{align} 2^{x} \quad \text{および} \quad 4^{x} + 3^{y+1} + 5^{z} \end{align}のとり得る値の範囲を求めよ.

ポイント・方針: 問題 2

指数のままだと見づらいし必要以上に難しく見える.
まずは \(2^{x} = X\) のように書き換えると連立 1 次方程式の問題になる.
あとは \(X > 0\) に注意して方程式を解き, 求めるべき式の値を考えていく.

問題 3

関数 \(y = \frac{3 \sin x + 1}{\sin x + 2}\) \((0 \leq x \leq 2 \pi)\) のとり得る値の範囲を求めよ.

ポイント・方針: 問題 3

\(\sin x\) と書かれているのでちょっとどきっとするが,
\(\sin x = X\) と書き換えれば見慣れた式になる.
あとは \(-1 \leq X \leq 1\) という範囲に注意して考えればいい.

問題 4

\begin{align} \begin{cases} \sin x + \sin y = 1, \\ \cos x + \cos y = 1 \end{cases} \end{align}のとき, \(\sin x + \cos x\) および \(\sin (x-y)\) の値を求めよ.

ポイント・方針: 問題 4

三角関数のいろいろな関係式を使う.
値を求めるように言われているので, \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\) という明確な値を持つ式にはいつも注目しておいてほしい.
\(\sin (x-y)\) とあるので「加法定理を使うと何かありそう」というのもすぐ思いつくべきことだろう.

問題 5

連立方程式

\begin{align} \frac{\sin x}{\sin y} = \sqrt{3}, \quad \frac{\tan x}{\tan y} = 3 \end{align}を解け.
ただし, \(- \frac{\pi}{2} < x, y < \frac{\pi}{2}\) とする.

ポイント・方針: 問題 5

三角関数の関係式を駆使する.
まず与えられた式から \(\cos x / \cos y\) はすぐにわかる.
あとは値を決めにいく以上, 絶対に成り立つ等式 (拘束条件) \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\) を常に意識する.

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