解説『1対1対応の演習 数学III』13 例題 1 次分数変換 埼玉大・理

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解説『1対1対応の演習 数学III』13 例題 1 次分数変換 埼玉大・理

問題 (埼玉大・理)

(1) 複素数平面上で関係式 \(2 |z-i| = |z+2i|\) を満たす複素数 \(z\) の描く図形 \(C\) を求め, 図示せよ.

(2) 複素数 \(z\) が (1) の図形 \(C\) 上を動くとき, \(w = \frac{iz}{z – 2i}\) の描く図形を求め, 図示せよ.

ポイント・方針

受験テクニックっぽくなるが,
【図形を求め図示せよ】とあるので基本路線として変な図形は出ないはずだ,
という見込を持っておくのは大切.

(1)

これは正にアポロニウスの円の話にはまっているから,
平面幾何を前提にするなら明らかに円になる.
それで答えてもいいが計算で示してみる.
本では \(z = x + yi\) としているが, 複素共役を使って \(z\) のままでやってもいける.
平面幾何的な洞察なしで機械的に計算していけば何とかなるという信頼感は
数学を応用する学問にとってかなり効いてくるのでそういう認識も少しずつ育ててほしい.

問題文中では結局複素数の絶対値しか出てこないので,
これを基点に何か計算を進める算段をしなければいけない.
そう思うととりあえず絶対値を 2 乗するしか手立てはない.
整理されきったデータをわざわざ壊す方向に向かうので
ちょっと精神的ハードルがあるかもしれないが, 他に方法もない.
こういう思考の流れも大切にすること:
要は「ちょっと面倒なことになりそうだが,
前にやったことがあるからとりあえずそれでやってみよう.
ダメならそのとき次の手を考える」, こういう感じ.

(2)

\(z\) が何かは決まっているのでそれに落とすしかない.
(1) の結果が使えるように式変形していくのがポイント.

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