解説『1対1対応の演習 数学III』13 演習題 奈良女子大

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解説『1対1対応の演習 数学III』13 演習題 奈良女子大

問題 (奈良女子大)

\(a\) は \(-1 < a < 1\) をみたす実数とする.
複素数 \(z\) に対して \(w = \frac{z – ai}{1 + aiz}\) とおく.

(1) 複素数平面上で, 点 \(z\) が原点 \(O\) を中心とする半径 1 の円上を動くとき,
点 \(w\) はどのような図形をえがくか.

(2) 複素数平面上で, 点 \(z\) が原点 \(O\) を中心とする半径 1 の円の内部を動くとき,
点 \(w\) の動く範囲を答えよ.

ポイント・方針

『1対1対応の演習 数学III』13 例題 (問題 \ref{univ-entrance-exam144}) と同じ方法でやればいい.
\(-1 < a < 1\) があるので, 当然この処理も大切だ.
割り算をするとき【0 で割ってはいけない】ことを常に意識する必要がある:
ときどき意地悪なひっかけで【方程式 \(ax^2 + bx + c =0\) でうんぬん】とあるとき
勝手に \(a \neq 0\) としてはいけない有名な話がある.
(2) は等式ではなく不等式になるのでそこだけ少し調整する必要はある.
1 次分数変換は関数の合成が作る関数列やその極限でも出てくる話題なので,
そちらとの関係も見据えておこう.

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