解説『1対1対応の演習 数学III』14 演習題 軌跡/\(w=z^2\) 青山学院大・理工

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『やさしい理系数学』は「内容はいいのに解説が少ない」という評判なので,
ここではその解説部分を補充する形でやっていきます.

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解説『1対1対応の演習 数学III』14 演習題 軌跡/ \(w=z^2\) 青山学院大・理工

問題 (青山学院大・理工)

複素数 \(z \neq 0\) の絶対値を \(r\), 偏角を \(\theta\) (\(-180^{\circ} \leq \theta < 180^{\circ}\)) とし,
\(w = z^2 + rz\) とする.

(1) \(w\) の絶対値を \(r\), \(\theta\) を用いて表せ.

(2) 複素数平面上の 2 点 \(1 + \sqrt{3} i\), \(- 1 – \sqrt{3} i\) を結ぶ線分を \(L\) とする.
\(z\) が \(L\) 上を動くとき, \(w\) の描く図形を示せ.

ポイント・方針

受験テクニックっぽくなるが,
【図形を求め図示せよ】とあるので基本路線として変な図形は出ないはずだ,
という見込を持っておくのは大切.
\(z \neq 0\) という条件の扱いが割と面倒: 問題を解き進めるうちにこの条件があることを忘れてしまうから.
物理や化学だと問題文が長いので逆に前の問題や記述を参照する癖がついているかもしれないが,
数学だと問題文が短いせいで逆に適当に読み飛ばしてしまう人も多い.
その辺, 十分に注意してほしい.

(1)

\(r\), \(\theta\) で書けということなので極形式を使うしかない.
\(|w|\) を表せと言われているのだからそれを素直に計算する.

(2)

これは割と面倒.
\(L\) はすぐわかる: \(z\) で書くなら \(z = s (\cos 60^{\circ} + i \sin 60^{\circ})\) と書けるが,
\(s \neq 0\) で \(-2 < s < 2\) となる.
\(s\) が負にまで伸びるから \(\abs{z} = s\) ではない.
素直に場合分けして計算すればいいだろう.
素直に, とは書いたがこれを面倒がらずにミスなくやりきれるかはまた別問題で,
けっこう大変だ.

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