Complex Geometry, Huybrechts 2015-08-30 読書メモ

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何となく読み始めた.
まずはさらっと全体を眺めてみている.
とりあえずさらさらと読んでみて「これは」と思った記述を抜き出しておく.
あとで読むときめんどいので, 適当な訳もつけておく.
英語の表現集としても使っていきたい.
自分用の TeX に落とすことが前提なので,
適当なコマンドで書いている.
Web の MathJax で直接表示するとうまく表示できなくなるが,
めんどいのでそのままにする.

P.14 正則関数の層の茎

日本語

則関数の層の茎で議論すると便利だ.
これで何度も何度も開近傍を明示的に小さく取り直す手間が省ける.
必要な記号を準備しよう.

英語

It is convenient to work throughout with
the stalk of the sheaf of holomorphic functions.
This way we avoid shrinking open neighbourhoods explicitly again and again.
Let us introduce the necessary notations.

P.14

日本語

環 \(\calO_{\bbC^n, 0}\) は局所環であり,
極大イデアルは \(f(0) = 0\) の全ての関数からなる.
言い換えれば \(\calO^{*}_{\calC^n, 0}\) の単元は \(f(0) \neq 0\) の全ての関数からなる.

英語

The ring \(\calO_{\bbC^n, 0}\) is local and its maximal ideal \(\frakm\)
consists of all functions that vanish in 0.
In other words, the set of units \(\calO^{*}_{\calC^n, 0}\) consists of
all functions \(f\) with \(f(0) \neq 0\).

メモ

代数弱者なので局所環の定義を覚えていなかったのでメモしておく.

\begin{defn}[局所環] (非可換) 環で \(R\) は次の同値条件のどれか 1 つを満たすとき局所環であるという. – \(R\) は極大左イデアルをただ 1 つ持つ. – \(R\) は極大右イデアルをただ 1 つ持つ. – \(R\) は零環ではなく, \(R\) のどの 2 つの非可逆元の和もまた非可逆になる. – \(R\) は零環ではなく, \(x \in R\) は \(x\) か \(1 − x\) のどちらかが必ず可逆になる. – \(R\) の元の適当な有限和が単元になるなら, 和の項となる元の中に単元が必ずある. \end{defn}

P.14

日本語

この記法を使うと WPT (Weierstrass Preparation Theorem) は次のように言い換えられる.
適当な座標を選ぶと任意の関数 \(f \in \calO_{\bbC^n, 0}\) は $f = g ⋅ h$と一意的に書ける.
ここで \(h \in \calO_{\bbC^n, 0}\) は単元, \(g \in \calO_{\bbC^{n-1}, 0} [z_1]\) は Weierstrass 多項式.
WPT から次の命題が示せる.

命題 1.1.15 局所環 \(\cal0_{\bbC^n, 0}\) は UFD である.

英語

Using these notation the WPT can be rephrased by saying that
after an appropriate coodinate choice any function \(f \in \calO_{\bbC^n, 0}\) can be uniquely written
as \(f = g \cdot h\), where \(h \in \calO_{\bbC^n, 0}\) is a unit and
\(g \in \calO_{\bbC^{n-1}, 0} [z_1]\) is a Weierstrass polynomial.
The WPT implies the following

Proposition 1.1.15 The local ring \(\cal0_{\bbC^n, 0}\) is a UFD.

UFD の定義は P.14 の Definition 1.1.16 に書いてある.
あと Gauss の補題: \(R\) が UFD ならば \(R[x]\) も UFD.

P.15

要は正則関数に対しても Weierstrass 多項式で互除法が成立する.

英語

Proposition 1.1.17 (Weierstrass division theorem)
Let \(f \in \calO_{\calC^n, 0}\) and let \(g \in \calO_{\bbC^{n-1}, 0} [z_1]\) be a Weierstrass polynomial of degree \(d\).
Then there exist \(r \in \calO_{\bbC^{n-1}, 0} [z_1]\) of degree \(< d\) and \(h \in \calO_{\bbC^{n}, 0}\) such that \(f = g \cdot h + r\).
The functions \(h\) and \(r\) are uniquely determined.

P.16

日本語

局所 UFD \(\calO_{\bbC^{n}, 0}\) はネーターである.

英語

Proposition 1.1.18 The local UFD \(\calO_{\bbC^{n}, 0}\) is noetherian.

Noether 環の定義は省略.


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