2015-08-30 読書メモ Complex Geometry, Huybrechts

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読んでいるのはこの本.

何となく読み始めた.
まずはさらっと全体を眺めてみている.
とりあえずさらさらと読んでみて「これは」と思った記述を抜き出しておく.
あとで読むときめんどいので, 適当な訳もつけておく.
英語の表現集としても使っていきたい.
自分用の TeX に落とすことが前提なので,
適当なコマンドで書いている.
Web の MathJax で直接表示するとうまく表示できなくなるが,
めんどいのでそのままにする.

P.52

実際, 複素代数幾何はある射影空間に埋め込める複素多様体を研究する.
複素幾何での射影空間の役割は微分幾何での級の役割に例えられるだろう.

In fact,
complex algebraic geometry just studies those complex manifolds
that can be embedded into some projective space.
Maybe the role of the projective space in complex geometry
can be compared to the role played by spheres in differential geometry.

P.53

複素幾何では実解析の技術的な道具の 1 つである 1 の分割はあまり役に立たない.

Also note that one of the main technical tools in real analysis,
the partition of unity, is of limited use in complex geometry.

P.54: 超越次元の定義

体の拡大 \(\bbC \subset K\) に対して \(\mathrm{trdeg}_{\bbC} K < n\) となる必要十分条件は
任意の \((n + 1)\) 個の元 \(f_1, \dots, f_n \in K\) に対して
非自明な多項式 \(F \in \bbC [x_1, \dots, x_{n+1}]\) があり \(F(f_{1}, \dots, f{n+1}) = 0\) となることに注意する.

Recall that \(\mathrm{trdeg}_{\bbC} K < n\) for a field extension \(\bbC \subset K\)
if and only if for any \((n + 1)\) elements \(f_1, \dots, f_n \in K\)
there exists a non-trivial polynomial \(F \in \bbC [x_1, \dots, x_{n+1}]\)
such that \(F(f_{1}, \dots, f{n+1}) = 0\).

P.56

可微分多様体は常に \(\bbR^{n}\) に微分同相な開集合で被覆できる.
対照的に一般の複素多様体は \(\bbC^{n}\) に双正則な開集合で被覆できない.
この現象は \(\bbC\) が有界な開円板に双正則ではない事実による
(Liouville の定理, page 4 を参照すること).

A differentiable manifold can always be covered by open subsets
diffeomorphic to \(\bbR^{n}\).
In contrast, a general complex manifold cannot be covered by
open subsets biholomorphic to \(\bbC^{n}\).
This phenomenon is due to the
fact that \(\bbC\) is not biholomorphic to a bounded open disc
(Liouville’s theorem, see page 4).


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