解説『やさしい理系数学』第 8 章 数列 例題 24

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『やさしい理系数学』は「内容はいいのに解説が少ない」という評判なので,
ここではその解説部分を補充する形でやっていきます.

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解説『やさしい理系数学』第 8 章 数列 例題 24

問題 1, 2

教科書レベルなので省略.

問題 3

\begin{exercise}\label{univ-entrance-exam150}
(1) 不等式 \(2^{n+2} > n^2\) (\(n = 1, 2, 3, \cdots\)) が成り立つことを証明せよ.

(2) \(3^{2n} -8n – 1\) (\(n = 1, 2, 3, \cdots\)) は 64 の倍数であることを証明せよ.
\end{exercise}

ポイント: 問題3

  • 実験.
  • 数学的帰納法.
  • 二項定理.

やはり実験が一番大切だろう.
小さい \(n\) で試して様子を調べる.
それからどうすると一般化できるかを調べていく.
この一般化がそのまま帰納法になる.
また特に \(2^{n}\) については, これを見た瞬間
\((1+1)^n\) として二項定理が使えないかを検討することが大事.

方針: 問題3

(1)

\(f(x) = 2^{x+2} – x^2\) として微分で処理してもいいが,
ここでは数列の問題としてやってみよう.
\(2^n\) を見たら二項定理を思いつけば,

\begin{align} 2^n = (1+1)^{n} = \sum_{k=0}^{n} \comb{n}{k} 1^k > \comb{n}{k} \end{align}が出る.
これと示すべき不等式を結びつけてみるとうまくいく.
これは一気に示す方法だが, 思いつけなければ実験+帰納法で地道にやっていこう.

(2)

これもやはり実験と数学的帰納法が大事だ.
本にもある通り帰納法のやり方が 3 通りはある.
それぞれ実験結果に対していろいろな見方をして,
帰納法に繋げていく.
もちろん二項定理を使っていく方法もある.
それぞれきちんと検討してほしい.

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