解説『やさしい理系数学』第 8 章 数列 例題 26 津田塾大

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『やさしい理系数学』は「内容はいいのに解説が少ない」という評判なので,
ここではその解説部分を補充する形でやっていきます.

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解説『やさしい理系数学』第 8 章 数列 例題 26 津田塾大

問題 (津田塾大)

\(xyz\) 空間において, 座標成分が全て整数であるような点を格子点と呼ぶことにする.
この空間における領域 \(D\) を, 次の不等式をみたす部分として定める.

\begin{align} x \geq 0, \quad y \geq 0, \quad z \geq 0, \quad x+y+z \leq n. \quad (n \colon \text{正の整数}) \end{align}(1) 領域 \(D\) を平面 \(x = i\) (\(0 \leq i \leq n\), \(i\) は整数) で
切った切り口にある格子点の個数を \(i\) と \(n\) を用いて表せ.

(2) 領域 \(D\) に含まれる格子点の個数を \(n\) を用いて表せ.

ポイント

  • 空間図形の処理.
  • 適切な平面で切ってその切断面上で考える.
  • 整数の処理, 格子点の処理.
    • 特に実験.
  • 直接の計算, 計算法の工夫.
  • 不等式から直接数え上げていくか, 幾何学的な特徴を使って数え上げるか.

切るべき平面を指定してくれているのでその分は楽になる.
断面をきちんと図示することも大切だ.
あとは実験をしてみるといろいろ様子が見えてくるだろう.
\(n\) が大きいとやりづらいから \(n\) を小さくして実験するといい.

方針

【方針 1】

\(x = i\) で切れと言われているのだからその上で考える.
特に直接不等式で数え上げていくと
\(x = i\) のとき \(y + z \leq n – i\) となる.
2 変数あって面倒だが実験してみればいい.

  • \(y = 0\) のときに \(z\) はどうなるか,
  • \(y = 1\) のときに \(z\) はどうなるか,
  • \(\vdots\)
  • \(y = n – i\) のとき \(z\) はどうなるか.

これを考えていけば答えが出る.

(2) は (1) を使って直接計算すればいい.

【方針 2】

切り取った平面上で幾何学的な特徴を掴む.
領域 \(D\) の平面 \(x=i\) による切り口は次の 3 点

\begin{align} \mathrm{P} (i, 0, 0), \quad \mathrm{Q} (i, n-i, 0), \quad \mathrm{R} (i, 0, n-i) \end{align}を頂点とする三角形 \(\mathrm{PQR}\) だから,
その内部の格子点の個数を数えればいい.
このとききちんと図形を描いて考えた方が間違いが少なくなる.

(2) の和の計算は少し工夫して計算できる.
本の解答ではそれが紹介されている.

【方針 3】

【方針 2】と同じく幾何学を使うが,
三角形 \(\mathrm{PQR}\) を直接考えるのではなく,
\(\mathrm{PR}\), \(\mathrm{PQ}\) を 2 辺とする正方形に注目する.
これは対角線 \(\mathrm{QR}\) に対して対称だから,
三角形 \(\mathrm{PQR}\) 内部と周上の格子点の個数が,
正方形の内部と周上にある格子点の個数から計算できる.

(2) は組み合わせ論的にも計算できるので,
本ではその方法が紹介されている.

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