2015-09-05 読書メモ Brezis, Functional Analysis Sobolev Spaces and Partial Differential Equations

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Huybrechts の Complex Geometry に飽きてきたので気分転換に読んでみる.
あまりよくないかもしれないが,
プロでもないしいいだろうという方向で.

P.92 H\”{o}lder

Young の不等式の証明をいつも覚えていられないのだが,
ここにあるように log の凹性なら覚えていられそう.
助かる.
Remark 2. に結果の一般化と interpolation も書いてあった.
Interpolation 周辺は PDE だと大切らしいのでとりあえずメモ.

P.93 Riesz-Fischer

\(L^{p}\) は \(1 \leq p \leq \infty\) で Banach 空間.
\(L^{1}\) と \(L^{\infty}\) のペア,
特に \(L^{\infty}\) の双対空間がいまだにあまりよくわかっていない.
特に \(L^{\infty}\) は可分でもないし,
めっちゃ魔界だと思う.

この前後の結果,
きちんと証明つきで覚えた方がいいのだろう.
解析学での修士だというのに反省している.

P.97 Riesz representation theorem

愛してやまない.

少し話がずれるが, Sobolev 力が低過ぎるので,
Sobolev に行ったときの話が全くわかっていない.
特に自分自身を dual にするかどうかのあたり,
そのメリット・デメリット.

P.102 \(L^{\infty}\) の双対空間

\(L^{\infty}\) を可換 von Neumann 環と思って
Gelfand-Naimark を使う話を説明している.
Radon 測度の話をしているが,
いまだに Radon 測度の定義を覚えていないし,
Borel 測度との区別もついていないのが本当に恥ずかしい.

というわけで復習.

\begin{defn}[Borel 測度] Borel 集合の \(\sigma\)-代数上で定義される任意の測度 \(\mu\) を Borel 測度という. Borel 測度が内部正則かつ外部正則なら正則 Borel 測度と呼ぶ. \(\mu\) が内部正則かつ局所有限なとき Radon 測度と呼ぶ. \end{defn} \begin{defn}[Radon 測度] 任意の Borel 集合 \(B\) の測度 \(m(B)\) が \(B\) に含まれるコンパクト集合 \(K\) の測度 \(m(K)\) の上限として得られるとき, 測度 \(m\) は内部正則 (inner regular) もしくは緊密 (tight) であるという. 各点が測度有限な近傍を持つとき, 測度 \(m\) は局所有限 (locally finite) であるという. 内部正則かつ局所有限な測度 \(m\) をラドン測度と呼ぶ. \end{defn}

P.103 \(L^{\infty}\) の非可分性

証明はわかるが気分的にいまだによくわかっていない.
\(L^{\infty}\) と言えば私の魂たる von Neumann 環の可換版でもあるのだが,
考えてみれば von Neumann 環もいまだにまるでわかっていなかった.
酷使するだけして何もわかっていないというの, 本当につらい.

P.104 たたみ込みと正則化

明らかに超大切な節.
Young, きちんと証明で使われる式変形の技巧を
覚えておかないと本番で使えない.

P.106 Proposition 4.18.

前, 日本語でこの本読んだのに
たたみ込みの台特性をすっぱり忘れていたのでつらい.

P.106 Proposition 4.19.

たたみ込みによる正則化の基礎.
とても大切: Proposition 4.20. では実際に \(C_{c}^{k}\) で証明する.
\(C_{c}^{\infty}\) でたたみ込んで, 滑らかな関数に対して証明してから
density argument で全体に持ち上げるのは基本戦略だ.

P.108 Mollifiers

我等が軟化作用素.
幾何でも使うし愛してやまない.
昔, 音だけ聞いて modifier だと思っていた.
意味として大きく外しているわけでもない.

P.111 4.5 Criterion for Strong Compactness in \(L^{p}\)

細かいことは忘れたが,
修士のとき, ゼミで河東先生に Ascoli-Arzela について
何か突っ込まれたときのことを思い出してヒヤっとした.

P.111 Theorem 4.26 (Kolmogorov–M. Riesz–Fréchet)

部分領域への制限は (相対論的) 構成的場の量子論や
統計力学での基本戦略だが,
私はその辺ほとんど触っていないので
この定理の使いどころがよくわかっていない.
Corollary 4.27 も使いどころわからない.
多分あとで出てくる感があるので楽しみにしておく.
useful と書いてあるが, 判定条件としての Corollary 4.28 は確かに有能感漂う.
こういう感触, 【素人】には通じづらいだろうなというのを最近よく感じる.


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