解説『やさしい理系数学』第 9 章 ベクトル 例題 29

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『やさしい理系数学』は「内容はいいのに解説が少ない」という評判なので,
ここではその解説部分を補充する形でやっていきます.

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解説『やさしい理系数学』第 9 章 ベクトル 例題 29

問題

座標空間に, 4 点

\begin{align} \mathrm{A} (0, 0, -1), \quad \mathrm{B} (3, 2, 1), \quad \mathrm{C} (1, 0, 3), \quad \mathrm{D} (5, 1, 3) \end{align}があり, 点 \(\mathrm{P}\) は線分 \(\mathrm{AB}\) 上を動き,
点 \(\mathrm{Q}\) は線分 \(\mathrm{CD}\) 上を動く.
このとき,

(1) 線分 \(\mathrm{PQ}\) の中点はどんな図形を描くか.

(2) 線分 \(\mathrm{PQ}\) の存在する領域の体積を求めよ.

ただし, 線分はいずれも両端を含むものとする.

ポイント

  • ベクトルの扱い.
  • 立体の扱い.

空間図形は平面図形以上に直観が効きづらい.
平面で丁寧に切るか, ベクトルの計算で式で計算を進めていくパワーがいる.

方針

(1)

平面のときと本質的に変わらないので完全に定型処理.
最終的な解答となる図形は,
こんな図形だと綺麗に文章で表現することは難しいので,
適当な図も書きながら『こんな図形だ』と補足で文章をつけるのがいいだろう.

(2)

まずは図形を決定する必要がある.
ただ空間図形とはいえ難しくないだろう.
難しい図形の体積はそもそも求められないので,
綺麗な図形になると思っておくのも大切.

ここまで来ればあとは体積だ.
図形としては四面体になるので,
四面体の体積を求めるのに必要なデータを揃えるしかない.
もちろん適当な面の底面積と高さだ.
底面積は平面図形のときと同じ面積公式が使える.
高さがかなり大変だろう.
ここをどう乗り切るかが鍵になる.

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