解説『やさしい理系数学』第 3 章 平面・空間図形 例題 9

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解説『やさしい理系数学』第 3 章 平面・空間図形 例題 9

問題 1

三角形 \(\mathrm{ABC}\) の外接円の中心を \(\mathrm{O}\) とし,
\(\mathrm{B}\), \(\mathrm{C}\) から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ \(\mathrm{D}\), \(\mathrm{E}\) とすると,
\(\mathrm{OA} \perp \mathrm{DE}\) であることを証明せよ.

ポイント・方針: 問題 1

垂直というのは要は角度の情報を取ってこいということだ.
そこから角度関係の定理や発想をフルに使う必要が出てくる.
具体的に錯角などをいろいろ使っていって角度を計算していくこともできるだろうが,
垂直・直交性を示すとなると平行・垂直を組み合わせる方法も思いつく.
もちろん組み合わせて考えていくことも必要だ.
この辺を思考の軸にして議論を進めていく.

問題 2

円 \(O\) の周上の 1 点 \(\mathrm{C}\) を中心とする任意の半径の円 \(C\) と円 \(O\) との交点を \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\) とする.
円 \(O\) の周上の任意の点 \(\mathrm{P}\) をとり,
直線 \(\mathrm{PA}\), \(\mathrm{PB}\) が円 \(C\) と再び交わる点をそれぞれ \(\mathrm{Q}\), \(\mathrm{R}\) とすると,
\(\mathrm{AR} \parallel \mathrm{BQ}\) であることを証明せよ.

ポイント・方針: 問題 2

こちらもやはり角度に関する主張を積み上げていく.
平行性から角度に関する情報を引き出せるように,
逆に角度から平行性を導くことができる.
例えば錯角を使う方法などいろいろある.

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