解説『やさしい理系数学』第 3 章 平面・空間図形 例題 10 早稲田大, 大阪大

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解説『やさしい理系数学』第 3 章 平面・空間図形 例題 10 早稲田大, 大阪大

問題 1 (早稲田大)

三角錐 \(\mathrm{OABC}\) があり,

\begin{align} \mathrm{OA} = \mathrm{OB} = \mathrm{OC} = 2, \quad \mathrm{BC} = \mathrm{CA} = \mathrm{AB} = 1 \end{align}とする.
辺 \(\mathrm{OB}\), \(\mathrm{OC}\) 上にそれぞれ点 \(\mathrm{P}\), \(\mathrm{Q}\) を

\begin{align} l = \mathrm{AP} + \mathrm{PQ} + \mathrm{QA} \end{align}が最小になるように取る.

(1) \(l\) の最小値を求めよ.

(2) 三角形 \(\mathrm{APQ}\) の面積を求めよ.

(3) 三角錐 \(\mathrm{OAPQ}\) の体積 \(V_1\) と元の三角錐 \(\mathrm{OABC}\) の体積 \(V\) との比の値を求めよ.

ポイント・方針: 問題 1

立体図形を考える場合の常套手段【平面に落とす】を使うことを考える.
もちろんどんな平面に落とすかを考えるのがポイントでつらいところ.
回転体の体積のような場合はどこで切ればいいかはわかりやすいがなかなかそうもいかないことが多い.
三角錐のような綺麗な図形が出てくる場合が大半だし,
今回は展開図を考えることで平面に落とす手法が使える.
これも道具箱にきちんと入れておこう.
平面幾何の諸定理や思考法も自由に使えるようにしておくこと.

問題 2 (大阪大)

\(S\) を半径 1 の球面とし, その中心を \(\mathrm{O}\) とする.
頂点 \(\mathrm{A}\) を共有し, 大きさの異なる 2 つの正四面体 \(\mathrm{ABCD}\), \(\mathrm{APQR}\) が次の 2 条件をみたすとする.

点 \(\mathrm{O}\), \(\mathrm{B}\), \(\mathrm{C}\), \(\mathrm{D}\) は同一平面上にある.

点 \(\mathrm{B}\), \(\mathrm{C}\), \(\mathrm{P}\), \(\mathrm{Q}\), \(\mathrm{R}\) は球面 \(S\) 上にある.

このとき, 線分 \(\mathrm{AB}\) と線分 \(\mathrm{AP}\) の長さを求めよ.

ポイント・方針: 問題 2

問題 1 と基本は変わらず,
立体図形を考える場合の常套手段【平面に落とす】を使うことを考える.
球はいろいろな情報を持っているのでそれをあますところなく使い切る.

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