解説『やさしい理系数学』第 3 章 平面・空間図形 例題 8

この記事は3分で読めます

このサイトは学部では早稲田で物理を, 修士では東大で数学を専攻し, 今も非アカデミックの立場で数学や物理と向き合っている一市民の奮闘の記録です. 運営者情報および運営理念についてはこちらをご覧ください.

中高の数学の復習から専門的な数学・物理までいろいろな情報を発信しています.
中高数学に関しては中高数学駆け込み寺,
大学数学に関しては現代数学観光ツアーという無料の通信講座があります.
ご興味のある方はぜひお気軽にご登録ください!


このブログ・記事では大学受験・大人の学び直し支援に関するサービスを展開しています.
私自身白血病で体力がなく,
治療で家計が圧迫されていて
塾・予備校・受験サプリなどのオンラインスクール・通信教育といった
教育サービスが受けづらい状況にありました.

そうした方でも無理なく勉強でき,
一流の教育が受けられるようにすることを目指し,
ここでは特に自学自習・独学の支援に力を注いでいます.

大学受験だけでなく, 大学での学業, 大学院での研究,
さらには社会人になりビジネスをするときにまで
応用していくことができる勉強法として
自学自習・独学・脳内授業をお勧めしています.
また見ていない方は次のページや
Kindle にまとめた書籍を参考にしてください.

他にも例えば, 次の本を元に脳内授業の例を出しています.
こちらのページから一覧が見られます.

どうしても達成したいことがある,
受験に成功することで人生を変えたい,
自信を持てるように自分自身を鍛えたい,
自分が望む未来に向かって突き進みたい,
そんな自分の可能性を信じる人に向けたメルマガを発行しています.

解説『やさしい理系数学』第 3 章 平面・空間図形 例題 8

問題 1

三角形 \(\mathrm{ABC}\) の内部の 1 点を \(\mathrm{O}\) とし,
\(\mathrm{OA}\), \(\mathrm{OB}\), \(\mathrm{OC}\) の延長がそれぞれ辺
\(\mathrm{BC}\), \(\mathrm{CA}\), \(\mathrm{AB}\) と交わる点を順に
\(\mathrm{D}\), \(\mathrm{E}\), \(\mathrm{F}\) とするとき,

\begin{align} \frac{\mathrm{OD}}{\mathrm{AD}} + \frac{\mathrm{OE}}{\mathrm{BE}} + \frac{\mathrm{OF}}{\mathrm{CF}} = 1 \end{align}が成り立つことを証明せよ.

ポイント・方針: 問題 1

cyclic に文字が出ていることがポイントだろう.
何か共通の手順・方法で比を別の表現に落として整理していけばいいのではないかと思える.
それが具体的に何かが問題だ.
平面幾何の問題なので辺の長さか面積くらいしか使える道具はないので,
何とかしてこれらに落とすしかない.

問題 2

三角形 \(\mathrm{ABC}\) の辺 \(\mathrm{BC}\) の延長上の点 \(\mathrm{P}\) を通る直線が
\(\mathrm{AB}\), \(\mathrm{AC}\) と交わる点をそれぞれ \(\mathrm{D}\), \(\mathrm{E}\) とし,
\(\mathrm{BE}\), \(\mathrm{CD}\) の交点と点 \(\mathrm{A}\) を通る直線が \(\mathrm{BC}\) と交わる点を \(\mathrm{Q}\) とするとき,

\begin{align} \mathrm{PB} \colon \mathrm{PC} = \mathrm{QB} \colon \mathrm{QC} \end{align}であることを証明せよ.

ポイント・方針: 問題 2

辺の比に関する話なので基本はメネラウスの定理・チェバの定理だろう.
完全に平面幾何という感じの問題でしか出てこないことが多いが,
難しい問題になると幾何学的な考察が効いてくることは多いし,
それを鍛えるために触れておくことは損ではない.

方針としては \(\mathrm{PB}\), \(\mathrm{PC}\), \(\mathrm{QB}\), \(\mathrm{QC}\) を捻り出すことをまず考える.
これらが出てくるようにメネラウス・チェバを使う.

問題 3

四角形 \(\mathrm{ABCD}\) のどの頂点も通らず, どの辺とも平行でない直線 \(l\) がある.
\(l\) と直線 \(\mathrm{AB}\), \(\mathrm{BC}\), \(\mathrm{CD}\), \(\mathrm{DA}\) との交点をそれぞれ \(\mathrm{P}\) ,\(\mathrm{Q}\), \(\mathrm{R}\), \(\mathrm{S}\) とするとき,

\begin{align} \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PB}} \cdot \frac{\mathrm{BQ}}{\mathrm{QC}} \cdot \frac{\mathrm{CR}}{\mathrm{RD}} \cdot \frac{\mathrm{DS}}{\mathrm{SA}} = 1 \end{align}が成り立つことを証明せよ.

ポイント・方針: 問題 3

cyclic に綺麗に書けているのでいかにもいわくありげというのに気付くことが一番大事.
実際, これは四角形版のメネラウスの定理だ.
三角形版のメネラウスを組み合わせて使うと証明できる.

最後に: 気軽に質問してください

大学受験に限らず何か聞きたいことがあれば
このページを参考に気軽に質問してください.
必要な情報がなく, 適切なアドバイスができないことが多いためです.
リンク先のページには LINE・メールの連絡先も書いてあります.

大学受験に関係したメルマガもあります.
どうしても達成したいことがある,
受験に成功することで人生を変えたい,
自信を持てるように自分自身を鍛えたい,
自分が望む未来に向かって突き進みたい,
そんな人はお気軽に登録を.

大学受験メルマガ登録者には Kindle の
数学, 教育・学参・受験, 教育学ランキングで
1 位になった書籍を無料プレゼントしています.


中高の数学の復習から専門的な数学・物理までいろいろな情報を発信しています.
中高数学に関しては中高数学駆け込み寺,
大学数学に関しては現代数学観光ツアーという無料の通信講座があります.
ご興味のある方はぜひお気軽にご登録ください!

  • このエントリーをはてなブックマークに追加
  • LINEで送る

関連記事

  • コメント (0)

  • トラックバックは利用できません。

  1. この記事へのコメントはありません。

このサイトについて

数学・物理の情報を中心にアカデミックな話題を発信しています。詳しいプロフィールはこちらから。通信講座を中心に数学や物理を独学しやすい環境づくりを目指して日々活動しています。
  • このエントリーをはてなブックマークに追加
  • LINEで送る

YouTube チャンネル登録

講義など動画を使った形式の方が良いコンテンツは動画にしています。ぜひチャンネル登録を!

メルマガ登録

メルマガ登録ページからご登録ください。 数学・物理の専門的な情報と大学受験向けのメルマガの 2 種類があります。

役に立つ・面白い記事があればクリックを!

記事の編集ページから「おすすめ記事」を複数選択してください。