Lipschitz 連続な関数と $u \in W^{1,p}_{\mathrm{loc}} (U)$ のほとんどいたるところの微分可能性

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今ちょっと微分方程式をもう少しきっちりやってみよう月間で
Evans の Partial Differential Equations を読んでいる.

流し読みして様子を見ているのだが,
P.280 からの Sobolev 空間の元の可微分性の特徴づけのところで
メモしておきたいことがあったのでブログにもメモをしておく.

それは P.280 Theorem 5 と P.281 Theorem 6 (Rademacher) だ.
次元 \(n\) が十分大きいとき (Sobolev 不等式で決まる定数だったはず),
\(u \in W^{1,p}_{\mathrm{loc}} (U)\) はほとんどいたるところ微分可能であること,
特に Lipschitz 連続な関数はほとんどいたるところ微分可能であることだ.

いったんメモとして証明は書かずにおくが,
そのうち動画にして証明もまとめたい.


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