書評 小中英嗣『微分方程式の定式化と解法』

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森北出版の方から書評して PR してくれ
(もちろん実際にはもっと丁寧な文章でご連絡頂いている),
とのことで小中英嗣『微分方程式の定式化と解法』を献本して頂いた.

これは常微分方程式に関する本で,
著者はシステム工学, 制御工学が専門とのこと.
常微分方程式の本を網羅的に調べたことがないどころか,
ろくに読んだことがないのであまり他書との比較はできないが,
できる限りで知っている範囲の本との比較もしてみる.

総評

大雑把に言って 2 通りの見方をした.
高校生まで含む非数学の読者に対して
(常) 微分方程式の展開を伝えるという側面と,

非数学の理工系である程度専門的なところにまで
踏み込んだときにどうなのかという側面,
この両側面に着目したコメントだ.

まずは前者についてコメントしたあと,
後者についてコメントする.

この本は前半部分がけっこういい感じに書けていて,
数学的細部にこだわらずサクっと全体を眺めるのに向いている.

数学科の人であっても,
物理とか他の分野でどんな応用があるのか
具体的に見てみたいとか,

微分方程式の導出を全くやったことがなくて,
そういうところをさらっと追いかけたいと
思っているなら程よくこってり書かれているので
割とお勧めできる.

ちょうどいま, 私も微分方程式に関する無料の通信講座を作っている.
微分方程式を見せてそこから逆に中高の数学が
どこでどう役に立つかを紹介していく形で展開しようと思っていて,
そこで読後の参考文献の 1 冊として具体的に勧める予定だ.

ちなみにその無料通信講座はここから登録できる.

あと以前, 常微分方程式に関しては
堀畑和弘・長谷川浩司『常微分方程式の新しい教科書』の書評も書いた.

数学的にきちんとやりたいなら,
最初の 1 冊としてこちらがお勧めできる.
こちらも常微分方程式の数学的な様子について少ないページ数で,
驚くほど広い範囲をすっきりまとめている.
具体的な解法に関してはどうしても重なるところは出てくる.

常微分方程式の射程距離に関していろいろコメントしているので,
堀畑和弘・長谷川浩司『常微分方程式の新しい教科書』の書評ページもぜひ読んでほしい.

高校生まで含む非数学の読者に対して常微分方程式の展開を伝える

これについてはかなりいい感じ.

微分や積分からフォローしてくれているし,
速度など物理系とも絡めた議論があるから
少なくとも物理系に興味がある高校生にはとっつきやすいはず.

ただあとで生物系の話もあるものの,
第 1 章の微分積分の話で絡めて出てくるのは
極端に物理に偏りがあるのはどうなのだろうと思っている.

私も学部が物理だったのでついついそちらのネタを出してしまうが,
高校生も対象にしたところで最初の微分積分のところでの絡みを
物理だけでしか出さないのはどうかと思わないでもない.
物理での絡みがあることで逆にわかりづらくなる人もいるだろう.

私自身出身が物理だからそうやって持っていく方が
もちろんやりやすいし,
他の分野と絡めて初等的に紹介するのには
どうしたらいいかわからないというのはある.

それはそれとして,
2 章移行は運動方程式に関係して高校物理の話からはじめ,
ばね, 振り子, 円運動,
電気回路, 放射性元素の崩壊, 生物の増減,
感染症, 金利計算と基本的なネタはおさえている.

そして常微分方程式の本で各方程式の導出を
きちんと書いてある本は珍しい気がする.

変に生真面目な高校生だと
導出が書いてあると「こんなに広い範囲の分野を理解してないと
微分方程式が理解できないのだろうか」と,
かえって苦しむところなのかもしれない.
実際の高校生の反応も聞いてみたいところだ.
私も参考にしたい.

P.4 の「本書の使い方」節にあるように,
いわば高校生向けの内容は 2 章までだし,
実際にここまで読むだけでも相当おなかいっぱいだろう.
そしてやはりここまでは読んでほしいとも思う.

補遺も高校の数学+ $\alpha$ で必要な範囲の紹介がある.
ここに出てくる話やキーワードを軸に,
とりあえず必要そうな数学をさらっていくこともできるだろう.

見た限り 3-4 章は高校生は完全に切り捨てて
理工系基礎教養の数学は修めている前提で書かれているようだ.

軽くコメントや注があるだけでも大分違うだろうし,
それは大学生に対しても意義があることだと思うのに,
割とぶん投げ気味なのはかなり気になっている.

以前研究室の先輩が工学部の数学教育に携わっていて,
次のようなことを仰っていたのを思い出した.

実際学生さんの様子を見たり話を聞いていて思ったけど,
工学部は数学は使って慣れろっていう感じで,
もっとちゃんとやれば学生さんもみんなもっと楽になるだろうに,
って思うよ.
あれは学生さんつらいと思う.

勝手な想像でしかないが,
そういう雑な数学教育で生き残ってしまった人達が
それで何とかなったからそれでいい,
という感じで負の連鎖を回しまくっている印象がある.

後半はもっと丁寧にした方が
よかったのではないかという印象が強い.
実際, ここからは後半に軸足を置いた
批判的なコメントをつけていく.

非数学の理工系である程度専門的なところにまで踏み込んだときにどうなのかという側面

率直に言って気にいらないところが多い.
これは私が学部が物理とはいえ,
修士以降完全に数学スタイルを身につけて
そっちの文化に染まりきった弊害なのかもしれないというのは考えている.

ただ私の中の物理成分も
「これはどうなんだ」と言っているので,
そういうところもコメントをつけていく.

まずタイトルまで含んだ本全体のレベルで
気になることとして,
偏微分方程式に一言も触れていない (気がする) ところがある.

私の見落としというのならすぐに訂正するけれども,
まえがきで「数学の使い方をもうちょい前に
授業で扱ってもらいたかったなぁ」というのなら,
偏微分の使いどころもきちんと触れておくべきだろう.

その手の半端さがいたるところに見られて,
それがひたすらに気になる.
特に P.4 で「理工系の専門科目での~」という記述があるので,
専門性の高い応用まで見込んだ記述の不足が
本当に気になって仕方ない.

ここからは具体的にコメントしていこう.

P.35 積分のほうが微分よりも } 難しい演算だといえる.

これはどういう意味だろう.
手計算の意味が曖昧というのはさておき,
むしろ原理的に現行人類が厳密な解を知らないとかそういう方向であって,
手計算が難しいのとはまるで意味が違う.

これはいわゆる楕円積分や誤差関数のように積分をそのまま
新たな関数の定義としているとかそういう感じの意味だ.

また工学的応用という観点から言えば,
仮に厳密解が求められたとしてもフーリエのように
無限級数や積分では収束性を吟味しなければ使い物にならないはずだし,
直接偏微分方程式を数値計算した方がいいかもしれない.

工学的な有用性や応用をも意識した本だというのなら
そういうところまで意識した記述にするべきだろう.
紙数の都合というにしても注をつけるくらいはできるはずだ.

P.35 さまざまな関数の不定積分

不定積分の性質にしているのがセンスない: 定積分にするべきだろう.
まえがきにもあった数値計算でやっているのは定積分だし,
実際に使うのは初期値つきの微分方程式のはずでそこではどうしたって定積分だ.

応用で真っ先に必要なのは初期値付きの方程式で定積分だし,
そっちで書くべきだ.

P.49 微分を含んだ方程式, つまり微分方程式

代数方程式との比較で,
未知関数とその導関数の関係で書かれた方程式くらいに
書いた方が比較でイメージしやすいのでは.

フーリエ, ラプラス変換を前提に考えれば代数方程式との比較は本質的でさえある.

どこでコメントしたものかという気はするが
ここで書いておこう.

解法の説明ももちろん大事だが,
解の一意性をきちんと話した方がいいのでは.
一意性がないところで数値計算するの,
数値計算するたび計算結果がどの解になるかわからないし,
怖いと思っている.
物理とか工学の人達, そういうの怖くないのだろうか.

前, 昔の理論物理の人の文章で次のようなことが書かれていたのを見たことがある.

「微分方程式の解の存在や一意性, 安定性なんてどうでもいい」と言っていた人が,
確定特異点の側で数値計算をはじめて「思うような結果が出ない」と困っていたのを見たことがある.
そういうところで無駄な時間や労力を使わないために数学の理論があるのだし,
だからこそ勉強もさせているのであって,
数値計算 1 つとっても数学の理論を甘く見てはいけない.

こういうのを見て育ち,
さらに修士で数学科の数学をやってきたので,
一意性の言及がない微分方程式の本,
それで応用上本当に問題ないのだろうかといつも思っている.

例えば Google のページランクも,
数値計算で起こる問題として一意性を気にしている.
もっと過激な状態として, 数理工学の画像処理関係で,
考えている数学的定式化に数学的な厳密解がないことがあって,
それでもそれらしい解をでっちあげない状況があるというのを見たことがある.

いま本がロストして見つけられないが確か次の本の杉原厚吉さんの記事だったと思う.

解の存在すら保証されないところでいかにして戦うか,
というすさまじい工学のバトルフィールドを見たので,
そういうのいいのかな, とただただ気になる.

2.1 節

解法解法と連呼しているが,
制御などはむしろ解けないところをどう解くかみたいなところが
大事なのだと認識している.
なんか解けることを前提にした議論は工学的に役に立つの, と思ってしまう.

先の数理工学の本の杉原厚吉さんの記事のように,
工学者の書く本はもっと殺伐と「具体的に解き方がわかり解も綺麗に書けるおもちゃを扱う.
現実の厳しさはこんなものではない」みたいな感じだと思っていたが,
全然違うのでかなり衝撃を受けている.
この記述だと既存の本と本質的に変わらないのでは感がある.

P.71 注, 数学では「何かの処理を施す」ことを左からの掛け算で書くことが多い.

これ, 関数解析の解析学では, という感じ.
数学全体で見るなら右作用もたくさんある.
むしろ「解析の人は左作用で書くところ,
代数の人はよく右作用で書きますね」くらいの話を聞いたこともある.

この辺は工学者に対する要求としては無茶という自覚はある.

P.75 仕事の定義

何で力 (の大きさ) は時空間変化がない前提なのか.
微積分使う前提なのに何故積分で書かないのか.
クーロン力扱えない.
端的に謎.

P.89 ロジスティック式.

ロジスティック方程式というのが普通と思っていたがそうでもないのか?
ロジスティック式でググってもロジスクティス方程式が先に出てくる.
ロジスティック式という呼び方もないことはないようだが,
Wikipedia でもロジスクティス方程式に転送されている.

P.93 この (連立) 微分方程式を式変形のみで解くのは難しい

ここでの式変形という言葉の意味と「難しい」はどういう意味か.
頑張ればできるということ?

P.96 2.12 の解答

$x=y=0$ の解が抜けている.

P.107 例 2.40

「鏡を置く場所を $(x, y)$ とすると鏡の傾きは $dy/dx$ と表せる」というところ,
全然意味がわからないがこの例は面白い.
ぜひ自分のやつのネタとして採用したい.

P.112 解の物理的な妥当性の検討

これはいい感じ.

P.129 微分方程式の解法.

いつも気になるのは,
代数方程式で解の個数の議論をするのに微分方程式になるとそれが途端になくなること.
1 つしかないか他にもあるかは応用上大事なのでは?
フーリエやラプラスで代数方程式に変換するのだし,
本質的なところだと思うのだが.

P.135 演習問題

身につけるのにある程度の量の演習は必要なのはわかる.
しかし実際問題, この手の演習は工学的にどのくらい求められているのだろう.
高校生からすると部分分数分解の応用などと言えないこともないし,
(部分分数分解が) 役に立つと強弁できるのかもしれないが,
それで工学的に嬉しいのか.

単に数字変えただけの方程式よりも,
パラメータを変えると物理的にどうなるかまでの吟味をさせるタイプの
演習をさせた方が単調な演習よりも効果ある気がしないでもない.
その辺, 教育的にどうなのだろう.

私も学部 2 年の数学演習のとき,
同じことをしたはずだがもう全然覚えていない.

P.137 線形 (linear) である

線型という言葉だけは出てくるがそれが何なのか,
線型だとどうありがたいのか,
そういう話が全くない.

この後でも線型代数の話が全然ない.

微分がこってりなのにこの扱いの差は何なのだろう.
P.5 でも線型代数への言及がない.
この本, 本質的に線型代数の範囲内で議論している本だし言及するべきだ.

注で軽くコメントするだけで全く違うのに,
なぜここまで徹底的に線型代数を無視しているのだろう.

線型代数は微積分以上にお役立ちポイントわからないようだし,
その線型代数の使いどころが見えるところはきちんとコメントするべきだろう.
まえがきの「数学の使い方をもうちょい前に授業で扱ってもらいたかったなぁ」はどこにいったのか.
こういうところが本当に気にくわない.

P.147 虚数単位が $j$

補遺で定義しただけなのでちょっと驚いた.
(複素数が入っているときに履修した) 高校生が読むことを考えると,
高校生にとって虚数単位は $i$ だから高校生への教育的配慮に欠ける.

それ以外にも数学として複素数をやるとき,
適当な意味で「数学の本」でやるならやはり虚数単位は $i$ だし,
一言断わるべきだろう.

電気系というかその周辺の工学の人間しか対象読者にしていないならもちろん別だが,
生物や金利の話までしているこの本でそう言い張るのは強弁にすぎる.

P.148 基底関数.

こんな言い方聞いたことないがどうなのだろう.
適当な空間を設定した上で単に基底というならもちろんわかる.
ここも線型代数にコメントするべきだが全くない.

あと解の要素というのは何だろう?
気分はわかるが記述が雑.
工学者に言うのも酷という気はする.

P.148

方程式の分類に関して線型, 非線形の言及がない.
線型しか扱わないので工学で困るのではないだろうか.
注があるかないかだけで全然違うはずだ.

P.156 注 1

ロピタルのようなマイナーな定理よりも
テイラー展開で議論した方が応用性が広いし,
ふつうの処理だろう.

厳密な評価になるとはいえ,
何で中途半端に応用範囲の狭いロピタルにしたのかがわからない.

P.169 余力があれば読んで.

それが応用できて何が嬉しいのか書くべきでは.
そもそも, 信号処理や制御が何なのか自体わからない読者が置いてきぼりだ.
「研究でも使われるし身の周りにもある回路の話だ」みたいなことを書いて
もっと読者の興味を引いてあげるべきだろう.

まえがきの「数学の使い方をもうちょい前に授業で扱ってもらいたかったなぁ」の
物理や工学版だから, 紙数の都合を考えても何とかして盛り込むべきだろう.
専門の学生を相手にしていても丁寧に説かなければ通じないはずだし,
何故そこをさぼるのか.

この辺に猛烈な手抜きを感じる.
Amazon の内容紹介に次のように書いてあったけれども,
こんな書き方では類書と同じではないか.

『定式化→解法』の順番で学んでいけば, その答えがみえてくる. 一味違った切り口の入門書.

P.177 行列による表現

高校でもやる微分の話はこってりやっているのに,
高校で必修とは限らない線型代数が全く説明ないのでひどくアンバランス.
記号の説明もない.

注が 1 つあるだけで高校生にも近付きやすくなるのに,
P.4 で△マークをつけたからといってここまで完全に高校生を切り捨てるのか,
と衝撃を受けた.

行列の指数関数とかそういう話もできるし,
微分作用素 (演算子) 自体を指数の肩に載せる発展方程式みたいな話もある.
量子系の話をすると出てくるネタだし,
ちょっと発展的な常微分方程式の本でも出てくる話だ.

線型代数がどうしてここまで扱いが悪いのだろう.

P.180 実用上非情に価値が高い.

実用上の価値の高さというところ,
実際の工学の場面でどのくらいなのか正直ピンと来ない.

最先端の研究, 論文でも使われるとか言われたら私は感覚が掴める.
非常に重要とだけ書かれて具体性のない話はよく見かけるのでその辺もっと注意すべきでは.
「大事なのはわかった. でもそれは実際どこでどんな風に使うんだ.
それを教えろ」みたいなことを著者は学生時代に思わなかったのだろうか.

そもそもその辺はまえがきで数学に関して言及があるのに,
既存の本と同じ扱いに堕している感がある.

頑張るべきはこういうところだろう.

P.187 これは明らかに物理法則に反している

この表現が気になる.
物理法則というよりも実験事実と言うべきでは.
また物理法則というと具体的にどの法則だ,
と思う人もいる気はしている.
明示しないで物理系とは限らない高校生に通じるのだろうか.

P.191 ラプラスの線型性.

工学の人, こういう記述だけで線型性の意義を感じ取れるのだろうか.
何度も書いているように全般的に線型の方程式を
議論しているにも関わらず線型性への言及が少ない.

この記述にしたって「他の本にもラプラス変換の線型性と書いてあるから」と,
極めて作業的な感じで重要性を何ら認めていない感じがする.

理工系必須教養である線型代数の使い方を全く説明していないが,
微分方程式の本だから微分積分の話だけしていれば事足れりという話なのだろうか.
線型代数は紙数の都合で省いたにしてもあまりにも言及がなさすぎる.

P.196, 197

単位ステップ関数やインパルス関数の意義が何も説明されていない.
あとできちんと説明するとか一言入れるべきでは?
少なくとも高校生には通じないだろう.
この時点で対象読者から切って捨てているなら話は違うが,
対象が電気電子系の学生でもちゃんと説明するべきなのではないかと思う.
相似定理と畳み込みも何も説明がない.

注すらないのが本当にわからない.
悪い意味で数学者の書いた本を読んでいるようだ.

P.217 余力があれば.

前と同じく説明が雑.
むしろアピールポイントなのに何してんの, という印象.

改めて最後にふと思ったこと

偏微分方程式では導出も書いてある本を見かける気がする.
常微分方程式だとそんなに導出が書いてある本が少ないのだろうか.

微分方程式の本は主に偏微分方程式に関する,
学部 3 年以上の専門で読むようなゴリゴリの数学科の本しか見たことがない.
中高生または中高の数学復習用講座を作ろうと思って,
最近ようやく常微分方程式の本をいくつか買って眺めてみたくらいだから,
あまり適当なことは言えないのだが.

微分方程式は,どこでどのように役立っているのか――
『定式化→解法』の順番で学んでいけば, その答えがみえてくる. 一味違った切り口の入門書.

Amazon の内容紹介でこう書いてあったが,
非数学の理工系出身なら誰でも思いつくし,
講義では実際にそういう感じのフォローが入るのではないだろうか.

常微分方程式の本をもっと読み漁ると,
実際にこういう感じの本は少ないということなのかもしれない.

気に入らないなら自分で作れ,
というメッセージは改めて受け取ったし私も好きにする.

もしあなたがこの本の逆向き,
つまり偏微分方程式も含めて微分方程式をもとにして
中高数学の何がどこでどう使われるかを見る講座に
興味があるならぜひ次のページから無料の講座に登録してみてほしい.

シミュレーションを基調にしていて,
具体的なコードと一緒にプログラミングについても言及がある.

本について最後にまとめ直すと,
前半部分だけ読んでくれればそれだけでも相当の収穫がある.
というか後半はちょっと勧められない.
それも専門課程を目指す人であればある程勧められない.

高校生くらいならそんなに深いところまで意識する必要もないと思うので,
逆に後半までがんばって読んでもいいんじゃないかという気はする.

そんなところだろうか.


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