ルベーグ測度 0 の集合の補集合は $\mathbb{R}^{n}$ で稠密か?

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答えは Yes だ.
いまSobolev空間論の本を読んでいて「?」と思ったので証明を確認した.
激烈簡単で自分で自分にがっかりした.
測度論弱者すぎる.

命題 2
ルベーグ測度を ${\left|\cdot\right|}$ と書く.
$A \subset {\mathbb{R}}^{n}$ がルベーグ測度 0 だとする.
このとき補集合 $A^{c}$ は ${\mathbb{R}}^{n}$ で稠密である.
証明 3
$A$ が内点を持つとするとある開球 $B_r$ に対して $B_r \subset A$ となる.
考えているのはルベーグ測度だから ${\left|B_r\right|} > 0$ であり矛盾である.
したがって $A$ は内点を持たないから $A^{i} = \emptyset$ である.
この補集合を取ると ${\mathbb{R}}^{n} = A^{ic} = \overline{A^{c}}$ である.
つまり補集合 $A^{c}$ は ${\mathbb{R}}^{n}$ で稠密である.

ついでにルベーグ測度ではない場合,
特に full support ではない測度を簡単な反例も記録しておこう.

  • http://math.stackexchange.com/questions/267996/measure-space-with-full-support

上のページによる Full support の定義は次の通り:

It means that the support is the entire space,
or equivalently that there is no open subset with 0 measure.
全空間を台とすること, また同値な条件として測度 0
の開部分集合が存在しないこと.

さて, 反例.
全測度が 0 になるような測度が明らかに反例.
これ以外にもルベーグ可測集合 $C \subset {\mathbb{R}}^{n}$ に対して,
$\mu_{C} (A) = {\left|A \cap C\right|}$ とすれば $\mu_{C}$
が反例になる.
これは $C$ の補集合に含まれる部分集合は内点があろうがなかろうが測度 0
だから.

他にもルベーグ測度に対して特異な測度を考えればいい.
例えば Cantor 集合上に台を持つ Cantor 測度.

測度論, Sobolev をやっていてもちょっとしたところですぐに顔を出す.
積分論の中でもうちょっときちんとやり直したい.
確率論だと死ぬほど出てくるからそちらでやり直す手もあるか.
確率論で測度論に関する議論が死ぬ程丁寧な本がほしい.


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