関数解析の初学にいい本: 量子系の数理の観点から/メルマガから

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サイトに公開しておく価値もあると思ったので出しておく.
ここまでが常体, 以下は敬体で文体が統一されていないけれども,
以下はメルマガが元なのでご容赦願いたい.

はじめに: 今回の背景

読者の方からメール頂いた話で,
多分他の方にも役に立つだろうから
いったん全体への返信という形でお返事します.

量子力学を深く勉強するために
ヒルベルト空間論, 関数解析をやろうとしていて,
それに対する本の選択とかそういう相談です.
たぶん.

Twitter というか私のサイト http://phasetr.com に
「Hilbert 空間メインの関数解析の初学には日合•柳の『ヒルベルト空間と線型作用素』をお勧めしたい」
という記事を書いていて,
その中に『新井先生の『量子力学の数学的構造』があるが,
一般にはあまりお勧めしない』と書いたりしました.

その方がこれを読もうとしていたそうなので,
それでどうしようか, という問い合わせです.

ちなみにこの人, 量子力学の数理,
特に量子測定などで知っている人は皆知っている
小澤正直先生に相談して von Neumann の
「量子力学の数学的基礎」を勧められたものの,
古いから新井朝雄先生の「ヒルベルト空間と量子力学」を読もう
と思っている, とかいう訳のわからないことを言ってきました.

世界的な研究者に相談しておきながら,
そこで勧められた本を無視して
ど素人が勝手に自分の趣味で本を選ぶという行為が
そもそも全く理解できなくて衝撃を受けました.
世界的な研究者の時間を奪っておいて,
その話を聞かないとか何がしたかったのか全くわかりません.

率直に言って, すごいことするな,
何のために小澤先生に相談したんだ,
こいつは何を考えているんだ, と.

確かこの人, もともと量子化学の研究者だと
言っていたと思うのですが,
ふだんからこんな感じでやってたのでしょうか.
謎です.

小澤先生を無視しつつ,
何で私なんぞの意見あてにするんだ,
重鎮の意見を無視するのにこっちの意見は聞くのか,
何なんだと.

それはともかく,
参考になるところはあると思うので
私の見解をまとめます.
いつも言っていることとはいえ,
あなたははじめて聞くかもしれませんし,
改めていうことにも意味はあるはずですから.

あなたがしたいのは物理ですか? 数学ですか?

究極的なところからはじめます.
数学をやりたいのか,
物理をやりたいのかをはっきりさせてください.

あくまでも物理がやりたいというなら
ルベーグ積分や関数解析をいくらやっても無意味です.
本当に無意味です.
数学はさっさと捨てて物理をやりましょう.

何故無意味かというと,
学部 3 年レベルの量子力学で出てくる話ですら,
数学的に追いきれないことが山程あるからです.
これは私やあなたが愚かだから,
とかそんなちゃちなレベルではありません.
現実問題として研究マターです.

あなたが研究者なら「そうは言っても
皆がやっていない穴とかあるんじゃないの?
そういうところなら何とかなるのでは?」
と思うかもしれません.
残念ながらそんな都合のいい話はありません.

優秀な人が一所懸命やってできるところは
たいがい潰されています.
残っているのは本質的な
ブレークスルーが 5-10 個ないと進まない,
そういう感じと思ってください.

数学的に厳密なスタイルの限界

レーザー, 量子電気力学, 散乱

具体例を挙げましょう.
物理の学部 3-4 年でレーザーに関する話,
量子光学的な話をやります.
これを厳格にやろうと思うと
非相対論的量子電気力学が出てきます.

そしてこれは 2017 年現在でも
数理物理の研究最前線です.

もう 4 年も前の話ですが,
これよりもう少し簡単な Nelson モデルの散乱理論に関して
Dybalski さんからメールを頂いたことがあります.
この人はもともと相対論的場の量子論の散乱理論を
研究している人で, 具体的なモデルの研究ということで,
非相対論的場の量子論にも踏み込んできたようです.

多体系の量子論, 量子統計に関するプレプリントを
arXiv に上げたときに「自分も多体系に興味があって
研究しているからぜひ論文を読んでほしい」というメールでした.

そのときメールで教えて頂いたのは次の論文です.

これ, 電子と場の相互作用系なのですが,
扱う電子は 2 つですからね.
1 つでも厳しいというのが現状です.

この時点でまともな物理の人なら
「数学的に厳密な話なんて
全く使いものにならないな」と
思うでしょう.

もしかしたらあなたは「これは場の理論だから
厳しいのでは?」と思ったかもしれません.
しかしその見込は甘いです.

量子力学の散乱

例えば数学的に厳密な量子力学の散乱理論ですら,
2 体はだいたい何とかなったものの,
3 体で既に研究の最前線のようです.

最後の PDF が一番状況がよくわかるでしょう.
9 年前の話ではありますが,
3 体問題が難しいという絶望的な話をしています.
数学ベースであっても散乱理論の研究は
50 年以上続いているので,
一般の N 体に関する知見が
この 8 年程度で爆発的に広がったとは思えません.

数学に厳密な物理の厳しさ

数学的に厳密な話など
いくらがんばったところでこの程度です.
もちろん数学サイドなら別にいいのです.
数学として面白いならそれでいいし,
実際磯崎先生がそれで数学会の賞を取るほどに
面白い話が展開できているわけですから.
もちろん世界的にも認められている業績です.

しかし物理としては 2 体, 3 体の散乱で
いくらシャープな結果が出ても,
ご利益は何も感じないでしょう.

こんなことしたいですか? という話です.

現代数学観光ツアーで十分

というわけで,
物理がしたいという人はヒルベルト空間論や
関数解析をやっている暇があるなら,
さっさと物理にうつりましょう.

現代数学観光ツアーで紹介したレベルの
話がおさえられていれば十二分です.
関数解析というよりも線型代数の適用範囲を
もっと積極的に広げたよ,
一度慣れておけばいろいろなことを
統一的に眺められて便利だよ,
そのくらいの認識でほぼ完璧です.

あなたは現代数学観光ツアーを知らないかもしれないので,
一応改めて宣伝しておきましょう.
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長くなってきので,
残りは次に回します.
次回は数学をやると決めた場合の対応です.

最初に: 前回の記事を張り直し

前回, 「Hilbert 空間メインの関数解析の初学には
日合?柳の『ヒルベルト空間と線型作用素』をお勧めしたい」
という記事へのリンクを
きちんと張っていませんでした.

いちいち検索するので面倒と思うので,
念のため張っておきます.

あと関連する記事ももう 1 つ.

他にも関係する記事はいろいろあるのですが,
思い出せないのでまずはこの 2 つを.

前回の復習

それはさておき,
前回, 量子力学の勉強のために
ヒルベルト空間論や関数解析を勉強したいと
思っている方から,
具体的に何をどう読もうか,
という相談を受けたという話をしました.

それに対してまずは数学をやりたいのか,
物理をやりたいのかはっきりさせること,
そして物理をやりたいなら,
現代数学観光ツアー以上の
ヒルベルト空間論はやったところで無意味だから,
さっさと物理を勉強しようと言いました.

数学的に厳密にやろうとすると,
ちょっとしたことが既に研究最前線マターであることを,
いくつか具体例を挙げて紹介しました.

厳しめのことを書きましたが,
私は実際にその方面,
つまり数学的に厳密なスタイルで
物理をやる数理物理を専門にしていたので,
どれほど大変なのかの実体験があります.

甘くはありません.
しかし非常に楽しい分野ではあります.
少なくとも私にとっては.

というわけで書いていたら楽しくなってきて,
とんでもないボリュームになりました.
1 回では長すぎるので何回かに分けて配信します.

今回からは数学よりの話をします.
量子系の数理といってもいろいろあります.
それは扱いたい物理による話で,
質問された方がどの辺を意図しているのか,
それがよくわかっていないので
何とも言えないところはあります.

先に質問者に聞けばいいじゃない,
という話でもありますが,
ある程度は網羅的に説明しようと思ったので,
まあまずは情報を出そうという感じです.

新井先生の本の紹介

まず具体的に書名が挙がっていた
新井先生の『ヒルベルト空間と量子力学』と
『量子力学の数学的構造』に関して.

『ヒルベルト空間と量子力学』はきちんと
目を通していないし,
増補版は余計見切れていないものの,
少なくとも『ヒルベルト空間と量子力学』の旧版には
スペクトル定理は使うだけであって,
証明が書かれていなかったはずです.
その代わりに水素原子に関する議論が載っている,
そういう認識です.

新井先生方面,
つまり作用素論的な方面から言うなら,
スペクトル定理抜きの議論には魂が入りません.
新井先生の本を読んで量子系の話をするなら,
最初から『量子力学の数学的構造』を読んだ方が早いですね.

水素原子の解析にしても,
ハミルトニアンの自己共役性に関して,
続編の『量子現象の数理』で加藤-Rellich の定理からはじめて
1 章まるまる割いて議論されている程度には面倒ですし,
議論するべきこともたくさんあります.

『量子力学の数学的構造』を読む前提なら,
『ヒルベルト空間と量子力学』を読む理由をあまり感じません.
中途半端にやってもね, という感じ.

あともう 1 つ,
一般には『量子力学の数学的構造』を勧めないと書いた理由です.
これは単純で, 記事ではヒルベルト空間メインとはいえ
「関数解析」に焦点を当てたからです.

新井先生の本, 特に『量子力学の数学的構造』と
続編にあたる『量子現象の数理』は,
極端なことを言えば,
新井先生の視点から量子力学に関わる数学にフォーカスしています.

関数解析の基本的で大事な定理でも,
本で扱っている範囲で使わないなら解説がありません.
『量子現象の数理』にはハーン-バナッハが載ってはいるものの,
証明抜きでした.
証明にツォルンの補題を使うから省略したのでしょう.

量子系の数理にだけフォーカスを当てるなら
わからないでもありません.
しかし数学として関数解析にフォーカスがあるのなら,
あまりいいことではありません.

日合-柳の『ヒルベルト空間と線型作用素』

しかし日合-柳の本は,
付録まで含めると関数解析の本として立派に使えます.
リース-マルコフ-角谷の定理までありますし,
こちらなら関数解析をやったと言える内容です.
スペクトル定理の証明もあるし,
量子力学の数理でもときどき出てくる
コンパクト作用素の議論もあります.

量子統計やるならある程度トレースクラスの議論も
必要ですし, その意味でも無駄ではありません.
そういうわけで日合-柳をお勧めしています.

数学的にもリース-マルコフ-角谷の定理を使って
スペクトル定理を証明していてなかなか気分がいいです.
リース-マルコフ-角谷の定理も証明も載っていて,
至れり尽くせり感が素晴らしい良書です.

関数解析の基本定理は都度やると
割り切るなら新井先生の本だけでもいいでしょう.
きちんと勉強していれば数学力もつきますし,
その段階で改めて関数解析のふつうの本を読めば,
苦労なく読めるはずですから,
それはそれで一手です.

テーマごとのお勧め

さて, ここからは物理のテーマごとに
合わせた数学という方向で話を進めます.

現代数学探険隊の募集ページで
量子力学がいろいろな数学と関係していることを
お伝えしたので, そちらを見た方は何となくはご存知でしょう.
一応募集ページのリンクも張っておきます.
長いので, 読むにしても
必要なところだけ読んでもらえれば結構です.

ここでは詳しい話に踏み込むので,
私が知っている分野・範囲の話しかできません.
幾何は一切抜きにしてゴリゴリの解析方面の話です.

数学から言うと大きくわけて次の通りです.

  • 特に基底エネルギーを評価する不等式処理, 実解析的な処理.
  • シュレディンガー方程式などを微分方程式と見た上での微分方程式の解析.
  • ハミルトニアンを作用素と見た上で作用素論的な解析.
  • 作用素論・不等式処理に確率論を使っていく解析, 特に経路積分の解析.
  • 特に場の理論・量子統計で作用素環を使う解析.

これらは全て独立しているわけではなく,
お互いに深く関係しています.
全ての数学をきっちり勉強しきるのは難しいですし,
好き・嫌いまたは得意・不得意があるので,
ふつうはどれかをメインにします.
私は作用素論・作用素環論を使う方面で,
量子力学というよりも場の理論・量子統計に重きを置いています.

下の 3 つに関してはヒルベルト空間論を
こってりやる意味があるし,
その必要もあります.

まずはヒルベルト空間の一般論が
それほど必要ないところからやりましょう.
大雑把に言って先のリストで
上から順にヒルベルト空間の一般論や,
関数解析の抽象論が必要になっていきます.

特に基底エネルギーを評価する不等式処理, 実解析的な処理

これは $L^{2}$ やソボレフ空間 $H^{1}$ が主戦場で,
特にそこでの不等式評価がキモです.

本としては Lieb-Loss の Analysis が
突き抜けています.

これはこの分野の世界的権威である
Lieb (と Loss) が応用の現場を意識して,
とっつきづらい関数解析の抽象論には
一切触れず $L^{p}$ の中で議論しきろうと書かれた本です.

ヒルベルト空間やバナッハ空間上での
基本定理は全て $L^{p}$ で議論されています.
ルベーグ積分の定義からはじまってはいますが,
事実上ルベーグ積分は既習が前提です.

この本, Lieb-Loss の「現場の数学」を貫き通しすぎて,
抽象論がないからといっても
全く簡単ではありません.

それは不等式評価が苛烈だからです.
具体的な $L^{p}$ や $H^{k}$ での議論であり,
物質の安定性のように
ハードな評価が必要な分野への応用も意図しているため,

ふつうの数学書で滅多に見かけない
最良定数評価もきっちりやっていて
そういう部分は本当にきついです.

ただ量子力学への応用を意識して,
ソボレフ空間の議論も過度に一般化せず,
詳しい議論はほぼ $H^{1}$ と $H^{1/2}$ に限定しています.

後半で量子力学, 特にシュレディンガー方程式の
解析にも関わる, クーロンポテンシャルの解析や
ポアソン方程式などの議論があった上で,
シュレディンガー方程式自体の議論もあります.

固有値評価に関する詳しい議論もあれば,
量子化学で重要な密度汎関数でもある
トーマス-フェルミ汎関数の議論もあって,
そこまで含めて参考になります.
まさに量子系の数理という感じです.

ただトーマス-フェルミに関しては
引用されている原論文を読んで方が
わかりやすいですね.

以前, 実際にこの辺を専門にしたいと
言っている院生から Lieb-Loss の
Analysis のトーマス-フェルミパートが
わけわからん! という相談を受けたので,
トーマス-フェルミに関する
セミナーをやってこともあります.

どうしてもわからないところがあったので,
原論文をあたってみたら
その方が遥かにわかりやすかったという話です.

物理として何をやるかは難しいところですが,
Lieb-Loss を読み終わったあと
Lieb の方面としては物質の安定性や
BEC がとっつきやすいでしょうか.

BEC でも議論される Gross-Pitaevski 方程式は
非線型シュレディンガー方程式と呼ばれるタイプの方程式で,
非線型の偏微分方程式論をやるという手もあります.

何はともあれ同じく Lieb が書いた本として,
Stability of matter と
The Mathematics of the Bose Gas
and its Condensation (Oberwolfach Seminars)
を勧めておきましょう.

どちらもかなり難しいです.
基本的に使っている数学は $L^p$ や $H^1$ と
そこでの不等式評価だけで,
一般論・抽象論の出番はほぼありません.

また長くなってきたのでまた切ります.
残りは次回に回します.

前回の復習

まずは復習.

前々回は物理をやりたいのか,
それとも数学をやりたいのか
はっきりさせようという話で,
物理を数学的にきちんとやろうと思うと
学部レベルの物理すら厳しいという話をしました.

前回は数学をやろうというなら,
という方向で軽く新井先生の本や,
日合-柳の本の紹介をしました.

さらに大雑把に 5 種類の方向性を挙げ,
そのうちの最初,
ヒルベルト空間の一般論や抽象論が
ほぼいらない物理に関する数学を
具体的な本とともに紹介しました.

その 5 種類は次の通りです.

  • 特に基底エネルギーを評価する不等式処理, 実解析的な処理.
  • シュレディンガー方程式などを微分方程式と見た上での微分方程式の解析.
  • ハミルトニアンを作用素と見た上で作用素論的な解析.
  • 作用素論・不等式処理に確率論を使っていく解析, 特に経路積分の解析.
  • 特に場の理論・量子統計で作用素環を使う解析.

今回は後半の 4 つを紹介します.
2 番目, 微分方程式の解析に関して話をしましょう.

シュレディンガー方程式などを微分方程式と見た上での微分方程式の解析

これは何をやるかによって
一般論・抽象論がかなり必要なところも出てきます.
例えば初回に説明した散乱理論は
作用素論に関する抽象論がかなり出てきます.

自己共役作用素の解析も必要になるので,
そこで作用素論の一般論が必要になる局面があります.

当然ソボレフ空間論も必要なので,
前回の Lieb-Loss 程度のソボレフ空間論は
カバーしておく必要があります.

数学としては非線型シュレディンガー方程式も
視野に入ってくるので,
そちらに進んでもいいでしょうね.

非線型シュレディンガーは
ソボレフや偏微分方程式の基礎を
みっちりやった上での話なので,
その基礎部分に関して参考文献を紹介していきます.

関係が深い話も多いですから,
前回紹介した Lieb-Loss の Analysis は
相変わらずお勧めの 1 冊に入れられます.

散乱理論のような作用素論の趣も強いところは
ヒルベルト空間の一般論・抽象論が必要です.
これに関しては日合-柳は相変わらずお勧めですし,
新井-江沢の『量子力学の数学的構造』もお勧めです.

『量子力学の数学的構造』の II 巻の後半は
基本的に場の理論・量子統計をやるときに
必要な内容なので, 飛ばして構いません.

具体的な作用素の自己共役性や
散乱理論の一般論など,
量子力学の数学に関してもう一歩踏み込んだ本としては
同じく新井先生の『量子現象の数理』がお勧めです.

高いのでおいそれと買えとは言えませんが,
私は専門の関係で読むしかなかったので
買って全部読んでいます.
本質的なものでもないですが,
誤植はいろいろあったので
それは新井先生にお送りしています.

研究会で会って自己紹介したとき
「丁寧な誤植訂正を送って頂いて
ありがとうございました.
とても助かりました」と言って頂いたこと,
今でも覚えています.
その程度には新井先生の本や論文を
読み込んで育っています.

Hausdorff-Young の不等式など
Lieb-Loss の Analysis レベルの
不等式処理力は前提とした上で,
『量子力学の数学的構造』や
『量子現象の数理』のネタも 1 章で
ある程度証明までカバーしつつ
量子力学の散乱理論に深く踏み込んだ本として
磯崎洋先生の「多体系シュレディンガー方程式」は
なかなか面白いです.

一般論・抽象論が必要とは書いたものの,
全部 $L^{2}$ 上で考えておいて問題ありません.
基本は全部 $L^{2}$ ですからね.

数学として, 微分方程式としての取り扱いなら,
方程式の解の存在といった議論も視野に入ります.
時間発展を考えるときは発展方程式の議論で,
Hille-吉田の定理などはふつう抽象論レベルでやるでしょう.

偏微分方程式も主戦場は $L^{p}$,
$W^{k,p}$ だとはいえ,
関数解析の一般論・抽象論は必要です.

これについてはやはり
偏微分方程式関係の本がいいですね.
関数解析の抽象論からカバーしてくれる本としては,
もともとフランス語でそれが和訳された
ブレジスの本がいいバランスです.

上の URL は日本語版へのリンクです.
しかし最近改めて英語で出た
バージョンの方をお勧めしておきます.

ページ数が増えているので「ちょっときつい」と思うかもしれません.
しかしこれはフランス語の英訳ではなく,
新たに書き直されたバージョンです.

各章末の発展的な話題にも最近の進展が反映されていますし,
実係数しか扱われていなかったのが,
付録で複素係数までカバーするようになりました.

複素係数まで含めた関数解析の本としての
完成度も高まっています.
そして分厚くなった理由の 1 つとして,
演習問題の回答がついたことが挙げられます.

もともと関数解析からはじまり,
$L^{p}$ の不等式やソボレフ,
Hille-吉田など関連する重要な話題もカバーしつつ,
変分を基礎に具体的な線型方程式の解析も
やっていて広い範囲をバランスよくおさえた本でした.

その完成度がさらに高まっているので
これは本当にお勧めです.
その後非線型解析に進むにしろ,
基礎としておさえておくべき内容です.

関数解析の基礎があるなら
Evans の本もお勧めです.

この本は次の 3 本立てです.

  • 線型非線型問わず具体的に解ける方程式の解析.
  • 線型方程式の理論.
  • 非線型方程式の理論.

具体的に解けるところで偏微分方程式に親しみ,
線型の理論でソボレフ含め
偏微分方程式の本格的な理論への地ならしをし,
最後に非線型方程式の基礎を見るという,
こちらもバランスのいい構成です.

半群理論も線型の Hille-吉田だけでなく
非線型半群も議論していますし,
その辺もいたれりつくせり感があります.

非線型方程式を射程に入れているなら,
読んでみていい本でしょう.
東大の偏微分方程式の研究室の
学部 4 年セミナーでも使われている本なので,
その意味でも確かな内容です.

ハミルトニアンを作用素と見た上で作用素論的な解析

これはばっちり私の専門です.
もう少し広げて話すこともできるのでしょうが,
半端な話をするよりは特化させることにしました.
量子統計は微妙ですが,
場の量子論は射程距離に入れて話をします.

私は新井先生の本と論文を読んで育ち,
その中で抽象論もバリバリやってきましたし,
その方面が基礎です.
どうしても $L^2$ の具体的なところを離れた議論,
いわゆるヒルベルト空間論が必要不可欠です.

これに関しては新井先生の本が一番です.
まずは『量子力学の数学的構造』を読んでから
『量子現象の数理』を読みましょう.

ここからさらに量子力学方面に進むなら
Cycon, Froese, Kirsch, Simon の本でしょうか.

新井先生の本は奇蹟のように読みやすいですが,
これはそこまで読みやすくはありません.
気合を入れないと読めない部分も増えます.

場の理論に行くならこれもまた新井先生の
『フォック空間と量子場』ですね.

『量子力学の数学的構造』,
『量子現象の数理』と来て
『フォック空間と量子場』を読めば,
作用素論的な方面の場の理論の論文が読めます.
少なくとも新井先生の論文はかなり読めます.

I, II と上下全部合わせるとページとしては
1700 ページくらいあるのでしょうか.

こう思うとかなりのボリュームに
感じるかもしれません.
しかし新井先生の本は本当に読みやすいので
体感はもっと軽いです.

他の昔の本で半ページくらいの証明を
3-4 ページ程度に渡って
懇切丁寧に書いてくれているのだと思ってください.

実際に Reed-Simon と新井先生の本で
何かの定理の証明を比較したとき,
そういうことがありました.

新井先生の本が読めなければ
おそらく他の本は全く読めません.
他の本や論文を読むのは本当につらかったですからね.

ここに来ると一冊一冊がもう専門書のレベルで
1 万円越えたりしますし,
学生で大学の図書館を自由に使えるならともかく,
大人なら事実上本を買うしかありません.

余計なことは考えず新井先生の本を
買った方がお金を無駄にしないですみます.

私の専門が近い話で
書けることが増えてきたせいで
またかなりのボリュームになりました.

また残りは次回に回します.
確率論は勉強しきれていないのですが,
最後の作用素環に関しては修士の頃の
研究室レベルでの専門なので,
また多少詳しい話になるでしょう.

数学的にもいろいろ関係することが増えるので,
数学をやりたい人には楽しい話になるはずです.

前回までの復習

前回から今回にかけての内容で,
割と最近の成果がまとまった本として
次の本をおすすめしていきます.

私も参加していた Summer School 数理物理 2013 の
講演内容をまとめた本です.

内容の大雑把なところに関しては
当時レポートを書いたので参考にしてください.

でははじめましょう.

作用素論・不等式処理に確率論を使っていく解析, 特に経路積分の解析

前回少し作用素論方面の話をしました.
関数解析系の量子系の数理の核の 1 つは
ハミルトニアンの解析です.

ふつうハミルトニアンは線型作用素だから
作用素を調べることになり,
そこで作用素を研究することに特化した
作用素論の出番になるわけです.

その作用素を詳しく調べるために確率論を使う手法があります.
物理としてはいわゆる「経路積分」の厳密解析にあたります.
場の理論では特に超関数を変数とする関数の積分論になるため,
汎関数積分と呼ばれることがあります.

前者の新井先生の本は丁寧でいいんですが,
論文を読むには全く足りません.
この方面の 1 冊目には最適だろうと思います.
量子力学だけでなく場の理論の話も書いてあります.

Simon の「Functional Integration
And Quantum Physics」もありますが,
これに限らず Simon の本は難しいです.
読むにしても新井先生の本で
きっちり基礎を固めた後にしましょう.

後者の廣島先生の共著の本は
完全に場の理論の本です.
正確には粒子系と場のカップリングを考えているので,
粒子系, つまり量子力学の話ももちろん書かれてはいます.

ただこれ, 確率論に関するかなりの予備知識が必要です.
いきなり Levi 過程の話が出てきます.
その確率論や確率過程,
そいて確率積分に関しても基本的なことが
新井先生の本にいくらか書いてあります.

この方面に進むにしてもまずは
新井先生の本を読むのをお勧めします.

量子電気力学に関する解析でも
汎関数積分を使った結果に決定的な成果があります.
対応する結果を確率抜きの純粋な作用素論で証明したり,
作用素環で見てみたりといった研究をするにも,
ある程度は結果をフォローできないといけません.

研究フェーズの話ではありますが,
楽しいところなのでぜひトライしてみてください.

確率論じたいの参考書もいくつか紹介しておきましょう.
まずは舟木先生の本をお勧めします.

例えば分布の収束の定義について
「どうしてこういう定義なのか」という
「気分」についての説明もあり,
初学者が疑問に思うところを丁寧に潰しています.
舟木先生の教育力, 経験が光る本です.

Markov 鎖の場合に限ってはいますが
エルゴード性に関する記述もあります.
確率積分は書いていないので,
別の本を読む必要があります.

確率論の基本的なところについては
西尾さんの確率論も証明が丁寧で
読みやすくていい本です.

確率積分に関しては初読は
新井先生の汎関数積分の本を勧めます.

突っ込んだ内容に関しては,
例えば次の本が有名どころです.
読んだ本もあれば
きちんと読み込んでいない本もあります.
順に舟木直久, 長井英生, 渡辺信三,
エクセンダール, カラザス・シュレーブです.

結論から言うと廣島先生の本が研究に直につながる本です.
しかしここにいたるギャップが激しいです.
関数解析だけでは足りず,
確率論に関してもかなりカバーするべきことがあります.

作用素論の定理の確率的証明だとか
確率的解釈のようなことも面白いので,
数学としてもかなり面白いところです.

少なくとも作用素論と確率論という
2 つの分野の交点にあるわけで,
複数の分野をまたがる話に興味があるなら
挑戦するべき価値のある話です.

くり返しになりますが,
専門書と入門のギャップ,
特に関数解析だけではほとんど足りません.
そこを埋めるのがかなり大変です.

私が知る限り, 直接量子系の話とはつながらない
部分も含めて確率論をふつうに相当かっちりやった上で
対応していかないといけません.

ダイレクトに絞っているのは
新井先生の本です.

しかしこれでは明白に分量が足りません.
そこを埋める, それもダイレクトに埋めてくれる
具体的な本はないと思います.
何かご存知でしたらぜひ教えてください.

特に場の理論・量子統計で作用素環を使う解析

一応, 厳密にはこれが私の専門です.
研究室は作用素環が専門の東大の河東研だったので,
本来はここです.
修士論文では作用素論しか使いませんでしたが,
その後の展開では積極的に絡めています.

河東先生は相対論的な場の理論でしたが,
私は非相対論的な場の理論と量子統計方面です.
量子統計は, 河東先生の指導教官である
竹崎先生の巨大な仕事があるので,
むしろその血を受け継いだ感じがあります.

学部の頃の指導教官筋で言えば,
私の指導教官のさらに指導教官は黒田成俊先生ですが,
そのさらに指導教官が加藤敏夫先生です.
加藤敏夫先生は量子力学の作用素論の大家ですし,
実際に加藤-レリッヒの定理は修論でも使いました.

直接の指導教官よりも先祖返りして,
指導教官の指導教官とか
そういう人達の強い影響下にある研究をしています.

ちょっと話がずれました.
具体的に作用素環の話をしましょう.

相対論的場の量子論,
非相対論的場の量子論,
量子統計でそれぞれ微妙に違う趣があります.

しかしどれも基本的なところは同じで,
Bratteli-Robinson が聖典です.

全部読む必要はなく,
最低限おさえるべきは次の節です.

  • 2 章
    • ここは全部読む.
    • 2.7 は軽く眺めるだけでもよし.
  • 3 章
    • 3.1 は全部
    • 3.2 はある程度眺めて必要になったときに適宜見るくらいでも可.
  • 4 章
    • 飛ばしていい.
    • 必要になったら泣きながら読む (難しい).
  • 5 章
    • 5.2 は新井先生の「フォック空間と量子場」を読んでから読んだ方がいい.
    • 5.3 は 5.3.1 の KMS 条件のところは特に前半は必ず読み, あとはさっと眺めておく. 必要なところは必要なときに詳しく読めばいい.
    • 5.4 はさっと眺めておく. 概念的には全て重要. 証明の詳細よりもどんな事実が示されているか, 物理として対応することは何かに注目する.
  • 6 章
    • 6.2 は必要になったときに読めばいい. スピン系をやりたいなら必ず読むこと. 具体例で遊んでみたい人は別途読んでみても楽しい.
    • 6.3 は読まなくてもいい: 修羅の世界. 本当に難しい.

少なくとも作用素環の基礎である 2 章と,
KMS の 5.3 は必ず読みましょう.
KMS に関連して 3 章の半群理論が
そこここに出てくるので,
必要なところをピンポイントでやるもよし,
必要だからと全部ガッとやってもいいです.

非相対論的場の量子論だと
ほぼ作用素環の基礎だけで事足ります.
むしろ作用素環の基本中の基本,
GNS construction が魂です.
作用素環的な赤外発散処理のための道具です.

非相対論的場の量子論でも
有限温度との関係がありますし,
量子統計も自然と視野に入ってきます.

有限温度なら平衡状態を議論しないといけないし,
そうなると KMS 状態の話になります.
Bratteli-Robinson の 5.3 節ですね.
KMS は冨田-竹崎理論との関係も極めて深いので,
冨田-竹崎理論は必ずやりましょう.
これは 2.5 節です.

2.5 節の冨田-竹崎理論は weight に関する
フルの理論ではありませんが,
場の理論への応用上は十分です.
必要になったら weight の場合の理論は
適宜結果だけ使えばいいでしょう.

相対論的場の量子論の散乱理論では
weight を使おうという話もあるようで,
そういうところでは関係してくるのでしょう.
ド専門の話で完全に研究マターです.

Bratteli-Robinson を読んだら
論文がかなり読めます.
私が見ている範囲の作用素環を使う非平衡量子統計では
作用素論もある程度必要だったりはしますが,
その辺は新井先生の本を読めば十分です.

論文になってしまいますが,
Bratteli-Robinson の話の拡張でもある
Derezinski-Jaksic-Pillet の
PERTURBATION THEORY OF $W^*$-DYNAMICS,
LIOUVILLEANS AND KMS-STATES は楽しいです.
作用素論との絡みもあるので,
ぜひ読んでみてください.

あと相対論的場の量子論に関してもう少し補足しましょう.
河東先生がやっている方面の話です.
概要を把握するには最初にも引用した次の本がベストです.

これについて詳しく突っ込むには次の本を読みましょう.

Bratteli-Robinson 程度は知っていないと話になりません.
特に冨田-竹崎理論は全開で使っています.
むしろ魂です.

この方面だと実際に河東先生がやっているように,
非可換幾何を介して幾何が絡んできたり,
低次元の話でジョーンズ多項式が出てきたり,
それ以外にも共形場が絡むところでは
頂点作用素代数をはじめとして
いろいろな数学が関係してきます.

明らかにいろいろな数学が交錯する分野です.
あなたが数学に興味があるのならとても楽しい分野です.

あとは私の好みでいうなら
$C^*$-力学系の話とスペクトル解析みたいなところですね.
数年前に亡くなってしまったのですが,
Borchers がこのあたりをやっていた人です.

これは多変数関数論と超関数論を駆使しつつ,
$\mathrm{R}^{d+1}$ の作用素環上への表現として
$C^{*}$-力学系を考え,
そのスペクトルを調べるという話です.

このスペクトルは粒子の情報も含んでいて,
相対論的場の量子論のやはり基本的な話を
数学的にがっちり議論するテーマです.

あなたが興味があるなら
「Quantum Field Theory as Dynamical System」という
論文を読んでみるのがいいでしょう.
これを詳しく解説したのが上記の本です.

作用素論から見た私の専門はスペクトル解析ですし,
やはりスペクトル解析好きなんですね.
多変数関数論や超関数論で,
その分野じたいではあまり有名ではないし,
古い話を使うのですがそういうところがまたかなり好きで.
どなたか興味がある方いれば一緒に勉強しましょう.

あと多変数関数論と超関数論が絡むところとして
楔の刃の定理 (edge of the wedge theorem) があります.
これは代数解析への展開があります.

代数解析は全く手が出ていないのですが,
興味だけはずっとあります.
これについては次の本に書いてあります.

場の理論関係だと最近そんなに話を見かけません.
しかし量子力学に関しては河合隆裕さんが
何かいろいろやっている感じがします.
例えば Borel 総和法だとか,
完全 WKB 解析とかですね.

本もあるのであなたがその辺に興味があるなら
読んでみてはどうでしょうか.

私はこの本はきちんと読んだことがありません.
以前眺めた限りでは 1 次元の話をいろいろやっていて,
代数解析勢は常微分方程式論をいろいろやっているので,
その辺の話なのかと勝手に思ってはいます.

代数解析の話は全く追えていませんが,
イジングやスピン系の厳密解など
代数解析は昔から量子力学, 場の量子論,
統計力学とある程度の関係があります.

もはや関数解析の初学どころか
関数解析の話ですらなくなっていますが,
まあいいでしょう.

最後にまとめ

長くにわたってごちゃごちゃと書いてきました.
数学パートが死ぬほど長くなりましたが,
バリバリド専門, お気に入りの話をしたので
こんなものでしょう.

量子力学と関わる関数解析の全てとはさすがに言えません.
しかしある程度の広さはおさえたとは思っています.

現代数学探険隊の募集ページ,
http://m.phasetr.com/l/m/bN5TxolcsyXt4q でもいろいろ書いたように,
幾何や代数, 数論との関係もあります.
(このページ, 相当長いので
必要なところだけ適当につまみ読みしてください.)

関数解析以外にも興味がある数学を
いろいろやってみてほしいですね.
幾何については最近コンテンツ制作が滯っていますが,
微分幾何・幾何解析関係の話も少しずつやっていく予定です.
そちらも楽しみにお待ちください.

物理の話もしたいんですが,
最低限の数学の話を準備できないことには
なかなか話ができません.

それに合わせてミニ講座は
いくつか準備しようと思っていますし,
がっつりやりたい人には
現代数学探険隊 http://m.phasetr.com/l/m/PMpCBo4snaB4n4 もあるので
ご興味あればぜひどうぞ.

毎度こんなに長い返信はしきれませんが,
何か質問があれば時間がある限り答えますし,
みなに共有する価値があることは積極的にシェアします.

こんな講座を開いてほしいというのもあれば,
要望を挙げてみてください.
どこかに何かの形で反映させていきます.


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