魔方陣 C* 環と慶応での勝良さんの講演 Unitary representations of locally compact groups, and magic square C*-algebras/相転移プロダクション

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2017年4月25日 16:30~18:00 の
慶應の微分幾何・トポロジーセミナーで
勝良健史さんが次のようなタイトルの
講演をするそうで.

  • Unitary representations of locally compact groups, and magic square C*-algebras
  • http://keiomath.jp/seminar/265

URL も張っておきました.
平日の夕方の早めの時間,
参加しようもないのですが,
中身がとにかく気になるので.

一応内容も転載しておきましょう.
上のページに行くと見られます.

本講演では, 局所コンパクト群の例から始め,
ユニタリー表現やポントリャーギン双対などの話題を通して,
C環という概念が自然と現れることを見たあとに,
群や空間の量子化の考え方などを例を通して説明する.
講演の後半では, 対称群の量子化として導入された魔法陣
C
環に関して既に知られている事や最近分かったことを解説する.
特に魔法陣のサイズが 4 のときは,
魔法陣 C*環が 3 次元射影空間をクラインの四元群
2 つの直積群の作用で割った orbifold から
4 次正方行列への連続関数のなす環として表現できることを説明する.
この結果は 16 年度の小川正瞳君による修士論文の結果に基いている.

魔方陣 C* 環とか名前の時点で
既に勉強したすぎる概念なので,
本当にずるいですね.

知人に聞いたところ,
オリジナルは次の論文とのこと.

  • https://arxiv.org/pdf/math/9807091v1.pdf

リンク先は arXiv のプレプリントなので
誰でも読めます.

非可換幾何や量子群の話のようです.
ぱらぱらと眺める限り,
何となく読めそうだし俄然興味が高まってきます.

悲しいことに今すぐ読める暇もありません.
ただあなたは読みたいと思っているかもしれません.
とりあえず講演概要に関して簡単にコメントしておきます.

まず勝良さんからですね.
勝良さんは大学院の研究室の先輩です.
何度かお会いしたこともあります.

いま何をやっているのか正確なところは全くわかりませんが,
私が大学院生だった頃はグラフ C* 環の
あたりをやっていました.

グラフというのは情報理論,
離散数学とかそのへんでも出てくるグラフのことです.
グラフから C* 環を系統的に構成する方法があって,
群の表現論あたりも絡めて何かごにょごにょやっていた
という曖昧な記憶があります.

Kazhdan の property-T という言葉だけ
よく覚えています.

群の表現, 特にユニタリ表現との関係については,
次の定理が重要です.

定理
C* 環の任意の元は
ユニタリ作用素の有限個の和で書ける.

実際には 4 つの和で書けます.
C* 環の functional calculus を使うと
適当にユニタリが定義できて,
それで処理できます.

このあたりからユニタリ作用素さえ作っておけば
いくらでも C* 環の元が作れてうんぬん,
という話ができます.

functional calculus は
作用素の関数を作ろうという話で,
Stone-Weierstrass の定理を基礎に
正規作用素の多項式を連続関数に持ち込んで,
とか, Cauchy の積分定理を
レゾルベントに適用したりとか,

はたまたスペクトル定理で
定義したりとかいろいろあります.
スペクトル定理からは
von Neumann 環の話も関係してきます.
両方とも射影が重要だからです.

内容を見る限り,
修論を見るとほどよくいろいろな
数学に触れられそうなので,
修論を読んでみたい欲求にかられています.

最悪勝良さんに問い合わせてみるまである.

何はともあれ,
あなたがご興味あるならぜひアタックしてみてください.
P.6 からの 3 節はじめを見ると,
有限集合上の話や,
有限次元の行列環の話をするようで,
がんばれば読めるところもいろいろありそうです.

最後に.
このメール, 私が作っているもろもろの講座なり
メルマガなりに登録している人あてに送っているため,
知らない方もいらっしゃると思うので,
改めて宣伝しておきます.

現代数学, 特に解析学に関して,
非可換幾何とかのネタも盛り込んである,
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あなたが既に登録していて,
今回の講演や論文に興味があって,
非可換幾何ってなんぞ,
と思ったなら該当回を復習してみてください.

ではまたメールします.


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