応用からの中高数学再入門 自然を再現しよう¶
第 1 回 全体の大枠を掴もう/中高数学駆け込み寺¶
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次のページにアクセスしてください. アニメーションやプログラム実行結果を含むコンテンツが見られます.
あなたは検索などで直接この web ページを見ているかもしれませんし, 無料通信講座の案内ページから来ているかもしれません. 次のページに一覧が置いてあるので, どんどん先に進んで見てもいいですし, 興味あるページだけつまみ読みしても構いません. お好きなように受講してください.
また, このコンテンツ・通信講座は有料コンテンツの一部として組み込んだほど, きっちり作り込んでいます. この有料コンテンツに興味があれば, 案内ページにアクセスしてみてください. このページを見るだけでも今後の勉強の参考になるように作っているので, 買うかどうか関係なしにご覧頂くことをお勧めします.
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早速初回のコンテンツを配信します. 次のページにアクセスしてください.
このメールの最後に大事な話もしています. ぜひ最後までメールを読み進めてください.
1 回 1 回のコンテンツは 10 分もあれば十分に読み切れる量です. 通勤通学中などの空き時間にでも眺めてみてください.
今後のコンテンツ配信について¶
これから 12 回に渡って順次コンテンツを配信します. 特にはじめの 2 回はイントロとオーバービューです. この講座は中高数学の全容を大きく掴もう・眺めようという趣旨なので, まずは講座それ自体の概要・全容を掴んでもらうのが目的です.
私のコンテンツアーカイブサイトにも記事を上げているので, あなたが自分のペースでどんどん勉強していきたいなら, サイト内の検索で自由に進めていってください.
最終回での今後の勉強の指針以外, どの回も A5 の紙換算で 5 ページ程度しかありません. 10 分もあれば全体を見通せると思います.
細かい説明や計算はあえて省いています. 詳細は気にせず大きな姿を捉えてください.
もちろん気になるところは気軽に質問してください. 質問への返信は確約できませんが, 何らかの形でコンテンツには反映させていきます. 必要なら補足コンテンツも適宜作成・配布する予定です.
アンケート¶
毎回アンケートを取っています. 何かコメントがあればお気軽にどうぞ.
質問があれば直接メールして頂いても構いません. お返事は確約できませんが, 必ずメールは確認しています.
P.S.¶
アンケートのコメントで 「そもそも微分や積分が何の役に立つのかよく知らない」 「そこもきちんと教えてほしい」という声を頂きました.
この講座ではこの講座の枠内でお話しますが, 中高数学一般に関してどんな分野が何の役に立つかについてまとめた本を作っています. もしあなたがご興味あればぜひ読んでみてください.
ではまたメールします.
第 2 回 プログラムでのお絵描きサンプルを見てみよう/中高数学駆け込み寺¶
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概要¶
今回は実際に微分方程式とは何かを大きく眺めます. 特にこの方程式の解は曲線になるのでその曲線を眺めること, 近似解を得るためのプログラミングにどんな苦労があるかを紹介します.
細々としたプログラムも書いてあり, 長めのコンテンツになっています. これもプログラムをはじめとして細部は気にせず, こんな問題を考えるのか, プログラムでこんなことができるのか, そういう部分だけを大きく眺めてください.
あえてはじめにプログラムとそれに関わる苦労を書いたのは, 実際にこうしたプログラミングと企業活動の関係があるからです. これは最後に「ソルバーと企業活動」という節があります. 実は巨大なビジネスにもなっています. そうした世界を見て頂くことも今回の目的です.
さらに世界的に著名な企業である PIXARのひみつ展 も, 「PIXARのひみつ展 いのちを生みだすサイエンス」という展示会を開くほど, エンタメの世界にも深く関係している分野です. その意味では毎日子供が触れている世界でさえあるのです.
- ピクサー作品の制作工程を科学や数学などで紐解く「PIXARのひみつ展 いのちを生みだすサイエンス」スタート
- https://travel.watch.impress.co.jp/docs/news/1180130.html
細かい話は次からはじめます. ぜひ楽しみにしていてください.
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第 2.5 回「数学の勉強がつらい」/中高数学駆け込み寺¶
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はじめに¶
初回のイントロ・概要コンテンツは確認したでしょうか? まだ見ていないなら必ず見てください. 1 回 1 回は 10 分もあれば十分に読み切れる量です. 通勤通学中などの空き時間にでも眺めてみてください.
- 第 1 回 https://phasetr.com/archive/fc/course/rrfa/#1
- 第 2 回 https://phasetr.com/archive/fc/course/rrfa/#2
今回は各回の幕間として, 数学の勉強を続けていくために大事な情報や心構えをお話しします.
この講座の募集ページでもお話したこととも重複しますが, 本編と同じくらい大事なので, ぜひきちんと読んでください.
数学を勉強する目的¶
目的はいろいろあると思います. この講座に参加された以上, 何はともあれ数学の勉強をしようと思っていらっしゃるはずです.
そして数学の勉強はつらいと思っていらっしゃると思います. 今回はこの問題について少し突っ込んで考えてみます.
もしかしたらあなたは「いや, 数学の勉強楽しいよ!」と 思っていらっしゃるかもしれません.
しかしつらいと言ってもいろいろあります. 例えば中高の頃の私は確かに数学は好きで, それこそ毎日の勉強時間はほぼ全て数学に費していました.
ニュースでノーベル物理学賞みたいなのも見かけます. 数学にももっとすごい話があるんだろうと思っていても, では具体的にどんな話があるのか, どうするとそうした情報に触れられるのかよくわからず, いつもどこかしらに不満がありました.
「もっと面白いことはあるはずなんだけど, どうすればそれに出会えるのかわからない. 誰にどう聞けばいいのかもわからない. この不満をどう処理すればいいんだろう」
こんな不満を常に抱えていました.
何がつらいのか?¶
一言で言うと数学の世界が見えません. 中学の数学・高校の数学の世界しか見えず, 「数学にもこんなすごい世界があるのか!」という絶景がよく見えません.
もちろんあなたはもっと単純に, 本を読んでいても何を言っているのか全然わからなくて困っているんだ, そう思っていらっしゃるかもしれません. 次はそのあたりについてもう少し考えてみましょう.
子供の様子を見て¶
ちょっと話が変わりますが, 私は昔から柔道をやっています. そして近所の道場で子ども達に柔道を教えたりもしています. それを見ていて思うことがあります.
柔道はオリンピックの試合が YouTube に上がっていたりもしますし, 一流の技が簡単に見られます. そしてそれがすごいことは子どもにもよくわかります.
子どもにも明確な目標が具体的に描けるわけです. そして「あんなふうになりたいならこんなことが必要で, そのためにはさらにこんなことが必要で...」, こうした順序もちゃんと見せてあげられます.
実技指導もできるので, 「実際にこうやってみると本当に技が効く」ことも肌で感じられます.
ひるがえって見ると数学にはこういう対象がないのです. それが 1 つ, とても大きな問題だとずっと思っています. 要は目標をどこに設定したらいいのかわからないからそこへの経路も思い描けず, いまやっていることが何につながっていくのか全然見えません.
ここがわからないならとりあえず飛ばしてもそんなに問題ないとか, 先まで行ってから戻ってきた方がいいとか, じっくり付き合わないといけないとか, そういう全体像が全く見えません.
私の学習履歴¶
私は学部が物理で修士から数学科でした. 物理学科では「最低限の数学ができないと, 物理の話も全然できないからまずは数学だ」という感じで, 学部 1 年はほぼ数学です.
2 年からようやく少しずつ物理が入ってくるものの, 使う数学も平行で必要だから計算もろくにできずに困り果てます. 一通りの数学の理論と基本的な演習もやったな, と思って 3 年になると, 今度は量子力学が物理も数学・計算もハードで, 学部 4 年になって研究室配属になってようやく落ち着いて物理に集中できるようになるかな, くらいの感じがありました.
人によっては相対論のために (準) リーマン幾何を勉強したり, 相対論的場の量子論のために群の表現論を勉強したりと, まだ数学にいじめられることもあります.
それはともかく, 「また数学か」「物理やりたいのにまた数学か」という感じはどうしてもあります. 「この数学地獄はいつまで続くんだ」と思っている人もいるでしょう.
解決策を求めて¶
「物理のための数学」に限っても, 物理学科のカリキュラムを見れば何となく分野名くらいはわかります. しかしその数学としての関連はもちろんのこと, 物理の中でどう生きているのかもわかりません.
だからそのあたりの一連の流れにフォーカスしたコンテンツが必要だなと思っていて, その第 2 弾としてこの講座を組んでいます.
ちなみに第 1 弾は量子力学に使う数学という視点から, 学部 4 年分の解析学をまとめた現代数学観光ツアーという講座でした.
大きな風景を掴もう¶
あなたが数学の細かいところがわからなくて苦しんでいるなら, まずは大きな風景をきちんと掴むようにしてみてください.
山登りではよく「見晴らしのいいところに来るとそれまでの苦労が報われた気分になる」という話が出ますよね? それと同じで, まずは見晴らしよく数学の世界を眺めることを目標にしてみてください.
特に最終回では数学に関する小説や, 数学者の心模様が伺えるエッセイも紹介しています. そうした, ふつうに数学をやる以外の楽しみを見つけてみるのも大事です. 私自身, 数学者が書くエッセイに憧れて専門分野に導かれた部分があります.
もしあなたが第 1-2 回のコンテンツをまだ見ていないなら, 軽くでいいので眺めてみてください. 概要把握は本当に大事なのでぜひ何度でもくり返し眺めてください.
細かいところはそもそも説明していません. わからなくてふつうです. そんなところは気にせず, まずは大きな姿を掴むようにしてください.
- 第 1 回 https://phasetr.com/archive/fc/course/rrfa/#1
- 第 2 回 https://phasetr.com/archive/fc/course/rrfa/#2
アンケート¶
毎回アンケートを取っています. 何かコメントがあればお気軽にどうぞ.
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第 3 回 厳密解との比較: 放射性物質の崩壊/中高数学駆け込み寺¶
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放射性物質の崩壊¶
今回は放射性物質の崩壊の微分方程式を調べてみます. もちろん微分方程式を直接調べるわけではなく, 近似して漸化式を解いています.
近似なんて適当なことやってても大丈夫なの? あなたはこう思っているかもしれません. そこで今回は近似の精度について調べてみました.
今回も記事の後半でグラフの比較をしたりプログラムを出しています. ぜひそちらも見てください.
あなたは数学的に詳しいことが知りたいんだと思っているかもしれません.
しかし微分方程式でどんなことをやっているか, それを紹介してからでなければ, なかなか勉強にも身が入らないのではないでしょうか?
そこで, もう少し, 微分方程式がどんなところでどう使われているかの話を続けます.
数学の解説はもう少し待っててください.
コンテンツ一覧¶
次のページから配布コンテンツが確認できます.
- 応用からの中高数学再入門 自然を再現しよう https://phasetr.com/archive/fc/course/rrfa/#1
1 回 1 回は短いのですぐ読めると思います. 通勤通学の合間のような隙間時間に読んでみてください.
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第 3.5 回 「雑な理解」も大事です/中高数学駆け込み寺¶
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はじめに¶
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今回のテーマ¶
今回は「雑な理解」の効用についてお話しておきます.
ふだん「雑な理解はよくない」とけっこう言っています. あなたが私の発言を見たことがあるなら, 「いつもと言っていることが違う」と思うかもしれません.
「雑な理解」という言葉の使い方自体が雑なので, もう少しこの言葉の説明をします.
講座の紹介ページでも書いたように, 要は大きな姿を捉えてほしいということです.
今どこで何をしているのか?¶
何でもそうですが, 目の前のことばかりに集中していると, ふとした瞬間に「自分は何でこんなことをしているのだろう」, そう冷静になることがあります.
この手の冷静さは割と危険で, そう思った瞬間に緊張の糸が切れてしまって, 熱中できなくなることがあります.
特に心のどこかで「これやっていて意味あるのかな?」, こんなふうに思っていると一気に気持ちが傾きます.
そういうのを避けるためにも, こんな目標があってそのためにいまこれをやっている, そういうのをきちんと意識する時間を作ってみてください.
ノーベル賞にもなる視点¶
少し話がずれますが, 物理で粗視化 (coarse graining) という概念があります. これはいくつかのノーベル賞にも関わる話, 相転移や繰り込みで大事な概念です.
大雑把に見ることで細かい部分をあえて潰し, 全体的な様子を捉えるための手法です. ちゃんとした使い方をすれば, 学術的にも大事なことに昇華させられるのです.
むしろこの当たり前のこときちんと物理に取り込むと, それがノーベル賞になるのです. 基礎・基本を馬鹿にしてはいけません.
細部に囚われない¶
あとふつうの意味で「雑に理解」するのが大事なことはよくあります.
バリバリの専門的な内容を扱っている通信講座, 現代数学探険隊でも何度も強調していることとして, 「よくわからないことだけ把握して先に進む」という勉強法を紹介しています.
そのときにどうしても理解できないことがあります. 1 週間経っても 1 ヶ月経ってもわからない, そんなことは本当によくあります.
しかし勉強を続けていれば, 2 年くらいしたあと, ふとそれを考えてみたら何の苦労もなく理解できた, そういうこともよくあります.
このまま正しい方法で地道に続けていれば, 2 年も経てば何とかなるだろう, そう思って適当にやりすごしておくのも一手です.
事例紹介¶
私の事例も紹介しましょう. 私は学部が物理でしたが, 学部 2 年の夏休みに代数の勉強をしていたことがあります.
とりあえず一冊通して読み切りはしましたが, 細かい証明は終えても準同型定理が何なのか全くわからず, 「何なんだろうこれ」とずっと思っていました.
学部 4 年で数学科に進学することを決めたとき, 分野としては作用素環で多少の代数も必要だからと軽く代数も復習しました.
そのときは準同型定理が本当に自然で, 当たり前に成り立つ割に恐ろしく強力な定理なのだと自然と納得できて, あとで考えたとき「何だこの感覚の変化は」と不思議な気分になったことがあります.
他の事例¶
他にもこんなことがありました. 論文を読んでいて 8 行程度の計算があり, 途中の 1 行でわからないところがありました.
3 時間くらい唸って「もういい, 諦める」と思って少し先を読んだところ, その計算のすぐあとに「4 行目の計算はこのように考えればいい」と, 短いコメントがありました.
そのコメントですんなり理解できたのですが, 「この無駄にした 3 時間は何だったんだ」とがっかりしたことがあります.
少し先を見てみる¶
本のちょっと先に「答え」が書いてあることもよくあります. 何だかよくわからない定理の様子がよくわかる具体例が先のページに書いてある, そんなこともよくあります.
「よくわからないけどまあいいか」と適当にやり過ごすのが大事な局面は本当にあります. うまいこと使いわけてください.
「ここの理解は明らかに雑だから」とさえ思っておいて, それをきちんと理解しているなら, その状態のまま進めてもいいのです.
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第 4 回 経済や生物で使う微分方程式/中高数学駆け込み寺¶
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経済や生物での微分方程式¶
今回は経済や生物のように, 数学とあまりご縁がなさそうな分野で出てくる微分方程式を紹介します.
具体的には高校の教科書でも出てくる有名なマルサスの人口論の話です.
今回もシミュレーションの結果をプログラムにして計算させています. ぜひ計算結果のグラフも眺めてみてください.
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第 4.5 回 食べやすい分量で/中高数学駆け込み寺¶
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分厚い本を読むのはつらい¶
今回は募集ページでも説明した, 分厚い本を読むのはつらいという話をします.
分厚い本のいいところ¶
ふつう分厚い本はそれだけ説明が丁寧です. 数学はわかりづらい, わかりづらいとよく言われます.
それに合わせて懇切丁寧な本があり, 600 ページを越える本もあります. 参考までに何冊か買ってみましたし, 確かに本当に基本的な内容をこってり丁寧に説明しています.
高校受験用に中学 3 年生の子に貸してあげたら, それを見た中学生 1 年の女の子が「説明が丁寧でわかりやすい!」とかなり気に入ったようです.
そのままその子に貸してあげました. 500 ページくらいあるのに鞄に入れて学校にも持っていると聞きました.
大人が読むのにいい本か?¶
ただ, そういう本を大人が読むのはつらいこともあるでしょう.
確かに読み進めやすいものの, 分厚いから「まだこんなにある...」と負担になるのです.
物理的な本だと厚さと進度がわかるので, 形式的には「いまこの辺にいる」とわかります. しかし数学的な理解の度合いが読んだ量に比例するとは限りません.
特に微分積分はふつう本の後半に回ります. そしてこれこそがリベンジのメイン, そんな方もよくいます. 文系で経済や統計学でも良く使いますし, 最近は文系出身プログラマーで機械学習のための数学を勉強している人もいます.
そこに来るまでに挫折してしまうと, 逆に絶望感が深まるのではないでしょうか? あなたの目的に応じていろいろな対策を立てておいてほしいのです. そしてこの講座はその問題に対する私からの回答でもあります.
大事なこと: 少しずつ進もう¶
ちょっと余計な話もしました. 大事なことは分厚いのを一所懸命最初からアタックしていくのではなく, ある程度の食べやすい分量で, 毎日少しずつ進むのが大事なのではないか, そういう狙いに基づいて通信講座にしています.
手元に分厚いのがあると, ついつい頑張ってしまう人がいます.
そして最初のペースが保てなくなってくると, 勉強じたいは続けているのに, 「最初は頑張れていたのに」と必要以上に自分を責めてしまって, やる気がなくなる, あなたにもそんな記憶がないでしょうか?
だからもう一定以上進めないように, そして一回の分量は少なめにして配信していって, 強制的に私の方からペースを作っていくことにしています.
楽しくてどんどん読み進めたいという人もいらっしゃったので, 念のためコンテンツ一覧も添えてあります. お好きなように受講してください.
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第 5 回 微分方程式シミュレーションのまとめ/中高数学駆け込み寺¶
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ここまでのまとめ¶
今回はここまでのまとめです. 微分方程式がどこでどんなふうに使われているか, 微分方程式をどう解くか, その中でどんな数学が出てくるか.
そんな話を改めてまとめました.
次回からは数学的な話をはじめます. 短い話で要点をまとめます.
5-10 分で読める分量なので, ちょっとした空き時間を見つけてぜひ読んでみてください.
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第 5.5 回 なぜ数学の勉強がつらいのか/中高数学駆け込み寺¶
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今回のテーマ¶
今回は次の問題を考えてみましょう.
- なぜ数学の勉強がつらいのか?
数学科の学生でもつらい¶
募集ページでも書いたように, まず数学科の学生であっても数学の勉強には難所がつきものです. まずこれを理解してください. これを知るだけでも気持ちが楽になる人もいるのではないでしょうか?
理解する喜びはもちろんあります. しかし常に知らない世界に切り込んでいくのが勉強です. 楽なことばかりではありません. だからこそ募集ページでも「冒険」という言葉を使いました. 子供たちを見ているといつもこう思います.
その冒険の旅で出くわす難所を突破するため, 大学をはじめとした組織に属して仲間を作って苦しみをわかちあい, 教官のような自分の先を進んでいる人に指導を仰ぐわけです.
こうした環境面の整備ももちろん大事です. しかしそれは後でお話することにして, 今回は視野に関する話をします.
目的は何?¶
あなたはどんな目的で数学, 特に中高の数学を勉強しようとしているでしょうか? 見ている限りこれが明確ではない人が多いのです.
「いや, 自分は物理を勉強しようとしていて, そのために微分積分を勉強しようとしているんだ」
あなたはこう思っているかもしれません. では物理というのはどんな物理でしょうか? その物理をやる上で具体的にどんな数学が必要か理解しているでしょうか?
その数学を勉強するのに向けて, 中高の数学のどんなところをどのくらいやれば, どのくらい理解すればいいかを理解しているでしょうか?
以前「相対論をやるために数学が必要で, 数学をやりはじめたが集合論や位相空間論を勉強したい」と言ってきた方がいました.
一般相対論をやるにしろ, 集合や位相空間を勉強よりももっとやるべきことがあるだろう, と思いつつ, どうしてもというの,で 私自身がやっている集合論や位相空間論の通信講座を勧めました. 本はいくつか持っているようだったので.
目的を叶えるために必要か?¶
ある程度全体を知っている人から見ると, 「いや, それは違うよね」というのはよくあります.
あなたも自分の仕事に関して, 全然関係ない「素人」さんが何か言っているのを見て, 「この人全然わかってないな」と思うことはないでしょうか? そういう感じです.
全体像の理解¶
ここで問題になるのは, やはり全体像を理解しているかです.
変なところに迷い込むと抜け出せなくなることもあります.
きちんと見通しや全体像を持ってほしいと思っています. この講座も微分方程式という観点から, 数学の見通しをお見せするのが目的です.
中高の数学だけの視野ではやはり狭いですし, 何よりもっと物理をやるのに必要, このあとに大学の数学をやりたいという方がため, そこまで意識した内容にしています.
いくら全体像が大事と言われても微分方程式はちょっと興味ない, あなたはそう思っているかもしれませんし, 他の分野, 例えば整数論に興味があるのかもしれません.
こうしたテーマは他の方や企業がカバーしていることもあります. もちろん私のここまでの活動でいくつかカバーしている分野もありますし, 今後もやっていこうとしていることはたくさんあります.
みんなで作っていこう¶
何か要望があればぜひお伝えください. 先ほどの相対論がやりたかった方のように, 既に作っている講座があればそれをご案内しますし, 適切な本やコンテンツがあればそれをご案内しますし, いい他社サービスがあればそれをご案内します.
数学を 1 人で勉強している方は多いです. あなたもそうかもしれません. 私も大学院を出て数学や物理の話ができる人が少なくなり, それに不満があってこうした活動をはじめました.
オンラインオフライン問わず, 身の回りに数学や物理, その他学術関係の話ができる「友達」をもっと増やすべく活動しています. 私にとっても本当に正直で率直なところです.
アンケート回答なり不明点の質問なり, 私をもっと活用してください. できることはやるし, 面白いことは今後の予定に組み込みます.
派手なことをしてもブームで終わってしまいます. 地道に数学や物理の輪を広げていきましょう.
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第 6 回 ベクトルとは何か?/中高数学駆け込み寺¶
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数学の話をはじめよう¶
前回までは微分方程式のシミュレーションや, それで実際にできることをお話してきました.
今回からは数学の話に踏み込んでいきます.
大きな流れを掴んでほしいので, 微分方程式のシミュレーションからのベクトルの見方に集中して説明しています.
まずはこんなものかと大掴みにしてください.
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質問があれば直接メールして頂いても構いません. お返事は確約できませんが, 必ずメールは確認しています.
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第 6.5 回 勉強が続けられない/中高数学駆け込み寺¶
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今回のテーマ¶
今回は次の問題を考えてみましょう.
- 数学の勉強が続けられないのは何故か?
理由を考えよう¶
理由はいくつか考えられます. 中高生の事情から大人の事情までいろいろです. 例えば中高生だと次のような感じでしょうか?
- 数学が嫌いでとにかくやりたくないから.
- 数学をしていても面白くないから.
- 数学をしていてもわからないことばかりでどんどん気持ちが萎えてくるから.
- いま勉強していることが何の役に立つかわからないから.
最後の理由はいま勉強していることが将来何に繋がるかわからない, つまり全体像が見えないし, 応用先が見えないから役に立つように見えない問題も含みます.
「中高生の頃はこんなふうに思っていた」, あなたはそんなふうに思っているかもしれません. ただ, いまのところ私のところに来る人に中高生はあまりいません. 大人の方が圧倒的に多いです.
だから大人の理由に集中しましょう. では大人の理由として何が多いでしょうか?
迷い込んだ沼から抜け出せない¶
ここまで私のところに相談にいらっしゃった方々の状況を大雑把に言えば, 「1 人で続けるといろいろなポイントでハマってしまって続かない」です.
「1 人」という部分が大きい方もいらっしゃいます. それは次回考えることにして, 今回はハマりポイントについて考えます.
人それぞれ¶
ハマりポイントは人それぞれです. ここでは「続けられない」ことにフォーカスして考えます.
続けられない理由でまず真っ先に挙げたいのは, 「初心を忘れる」ことです.
どうしても必要になってやらざるを得なくなった方は別として, 大人になってわざわざ数学をやろうと思った方は, それ相応の気概をもってはじめたはずです.
「いや, ちょっとした好奇心だから...」. こう思っている方もいらっしゃるかもしれません. あなたもそうかもしれません.
しかし募集ページの魅力を上げるべく, 数学に本当に興味がないふつうの女性に募集ページを見せてみて反応を伺ったら, 「数学したくなる大人なんていないし, こんなの作っても全く無駄でしょ? 何やってんの? メッセージも全くのピント外れだね」というリアクションが返ってきました.
あのページを見て参加してみようと思った時点で, 相当の決意・覚悟をしていると思って間違いないのです.
それだけの初心を持っているのに, 忘れてしまうのはあまりにももったいないです.
感想を聞く理由¶
私の通信講座では毎回感想を聞いています. これは講座の内容改善に繋げるためでもありますが, 実際には「こんなところがこう面白かった!」, そんな記憶をあとであなた自身で思い出してもらうためのメモでもあります.
勉強がしんどくなってきた頃にそのメモを見返して, 初心を取り戻してもらうための工夫です.
こういう工夫を甘く見てはいけません. 数学自体を楽しく勉強し続けられば何も言うことはありません.
しかし仕事なりプライベートなりで嫌なこともあります. 忙しい中で数学に時間を割き続けるのは尋常なことではありません.
楽しみを見つけることももちろん大事です. しかし「数学を改めて勉強してみたい」と, そう思った初心を思い出すようにしてみると, また情熱が戻ってきます.
「初心忘れるべからず.」
この言葉を胸に刻んで, また数学に取り組んでみてください.
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第 7 回 関数とは何か?/中高数学駆け込み寺¶
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復習¶
前回から具体的な話に入りました. 特にベクトルに関する議論を, 微分方程式のシミュレーションという観点から紹介しました. 折れ線で曲線を近似するための道具としてベクトルを紹介しています.
関数の話¶
そして今回は関数です.
微分方程式は関数がみたす関係式, 方程式に関する話なので関数がとても大事です.
いろいろとはまるポイントはあるでしょう. しかし微分方程式から見て大事なことはそんなに多くありません.
まずは大きな流れに注目して, 「何となくこんな感じか」というところだけ掴むようにしてください.
実は数列も関数です. ここの理解は微分方程式を理解するときにも効いてくる大事なポイントです.
次回は数列です. これも高校だといろいろな話がありますが, 大事なポイントだけおさえていくので, 楽しみにしていてください.
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第 7.5 回 1 人で勉強するのはしんどい/中高数学駆け込み寺¶
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はじめに¶
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今回のテーマ¶
今回考えるのは次の問題です.
- 1 人で勉強するのがしんどい...
結論¶
結論からいいます. 何とかして「友達」を作りましょう. 作り方もいくつか紹介します.
これもなかなか根が深い問題です. 特に数学に関しては.
学生の頃の遠い記憶¶
あなたは学生の頃, 学校の先生の説明があまりにわからなくて, 数学に挫折した経験があるかもしれません.
他によく聞く話として, 特に数学が得意な友達に聞いてみてもわからず, 逆に馬鹿にされることがあったり.
当人にそんなつもりがなくても, コンプレックスを抱えていると, 何でもない言葉でも深く考えすぎて悪くとってしまうこともあるでしょう.
いろいろな話を聞く限り, こんな経験を経て数学を他の人と勉強する機会を失った方は多いようです. あなたもそうかもしれません.
大人になってからの事情¶
もう 1 つ大人になってからの再勉強特有の事情もあるでしょう. そもそも誰に聞いたらいいかわからない問題です.
学生であれば先生なり友人なり, 効果があるかはともかく, 質問できる人はいます.
しかし大人になると質問してもいいと思える相手自体が激減します.
私のところに来る方の中でいうなら, 大学レベルの専門的な内容だと理工系の方が遥かに多いです.
しかし時々中高の数学を復習したいという方がいて, 多くは文系出身の方です. (最近は機械学習と数学の関係から理系の方も増えていますが, これは今回触れません.)
当然周囲にいる知人も文系の方が多いでしょう. 質問できる・できない以前に数学を毛嫌いしている方ばかりと思います.
先日送ったメールにも書いたように, 「数学やりたがる大人なんているわけない」, そう思っている人も本当にいます. というか, よく出会います.
私が「数学をやっている」というと, 二言目には「自分は昔から数学が苦手で...」といわれることが多いですし, 「数学なんて本当に嫌い」と言われることも多いです.
「数学科に進学するくらいに数学を愛している人間相手に, よくそんな失礼なことを言えるな」と, 毎回不愉快なのを通り越して不思議に思うほどによく言われます.
相談する人はいますか?¶
私の話は別として, そもそも相談する相手すら思いつかないという方が大半でしょう.
そんなときにどうすればいいか? どう相談できる人を作ればいいか? もっと言えばどう「数学友達」を作ればいいか?
これが問題です.
ある程度お手軽にできるところをいくつか紹介します. あなたの状況に応じて使えるものを使ってみてください.
4 通りの方法¶
だいたい次の 4 通りがあります.
- 小中高校向けの塾などに通ってみる.
- 大人向けの塾などに通ってみる.
- ブログや Twitter で数学をやっている旨を発信する.
- 数学サークルを探してみる.
順に見ていきましょう.
小中高校向けの塾などに通ってみる.¶
私の知人の女性で 1 人本当にいます. 彼女は恋人から「数学ガール」をプレゼントしてもらって, それを楽しんでみたい! と言って公文式に通っています.
実際に時間を取って教室に参加するのは時間的に大変なので, 教材だけもらって自分で解いています.
「因数分解楽しいですよね!」と楽しそうに言われたことがあって, 「こういう楽しみ方をしている人が本当にいるのか」. そう驚くとともに感動しました.
丸つけしてもらってほめてもらえるのもポイントが高かったようです.
それなりにお金もかかりますが, 実際にそうした既存のサービスを使うのも大事な一手です.
大人向けの塾などに通ってみる.¶
子どもと一緒に勉強するのは恥ずかしい, 大人になってまで数学の復習をしていると他の人に知られるのは恥ずかしい, そういう方もいらっしゃるようです.
そういう場合は個人指導体制を取ってくれる, 大人向けのサービスに参加してみるのも一手です.
大学数学レベルのバックボーンがある人が対応してくれるところもあります. 小中高向けの個人指導塾にお願いしてみるのもいいでしょう.
ただ大人向けの塾もいいところはいいのですが, そうしたサービスを展開している人が書いている本を読んでいると, 「この人明らかに数学の理解おかしいな?」という人が代表をやっていることがあります. そういう場合たいてい数学出身の方ではありません.
以前ブログに記事を書いたこともあるのですが, 参考書に明らかに間違った内容の記述があって恐ろしく不安になったことがあります.
明らかに「ここはまずい」というところは除いて, ここは割と問題なさそうだと思ったところは最終回に参考文献と一緒にご紹介します. 楽しみにしていてください.
ブログや Twitter で数学をやっている旨を発信する.¶
ここまでは有料のサービスでした. 大人になってからという前提なら, そういう方法もあるのであえて先に紹介しました.
無料でもいろいろやれます. これは私が実際にやった方法です.
大学院を出たら数学や物理の話ができる知人がまわりに全くいなくなりました. あまりにさみしいので, ニコニコ動画に大学レベルの専門的な動画を上げてみたり, Twitter をはじめて「ここがわからない」と言っている大学生の質問に答えたりして, 友達探しを必死にやりました.
はじめて知り合った頃に高校生だった人がいまは大学院生になっていることもあります. 実際に一緒に大学でセミナーをしたこともあります.
最初はこちらが教える一方でしたが, 今ではわからないことがあるとき, ちょっと聞いてみるとといろいろ教えてくれるような関係になっています.
教えるというとハードルが一気に高くなった, あなたはそう感じているかもしれません. しかし逆に考えてみてください.
「数学の話ができる知り合いがほしい」と, 特に利益も求めず数学を教えてくれる人がいるのです. 第一私がそうでした.
もちろんその人の都合もあるので, 自分の都合のいいときに納得いくまで付き合ってくれる保証はありません.
それでも話ができるだけで, 相談ができるだけで助かることはあるはずです. 少なくとも「数学をやっていてもいいんだ!」という気持ちにはなれるはずです.
ブログだとコメントしづらい感じもするので, Twitter がいいように思います. Facebook は純粋にリアルの知人とのやりとりに使っている方が多いでしょうし, リアルの知人に知られたくない事情があるなら控えた方がいいと思います.
数学サークルを探してみる.¶
これはどちらかというとリアルで「友達」を作る話です. 例えば月に 1 度学校の教室を借りて勉強会を開いている人達がいます.
それ以外にもカフェでやっていたり, ネット上でオンラインセミナーをやっている方々もいます. 私も最近定期的に, それも週 3 でやっています.
改めて結論¶
改めて結論を書いておきます. 1 人でやるのがしんどいなら実際に仲間を探せばいいだけです.
近くにいそうにないとか, なかなか自由に時間が取れないなら, Twitter などオンラインで仲間を見つけましょう.
あなたが大人ならいっそのことお金を払って, 質問できる相手や勉強しやすい環境を作る手もあります.
お金もかからず気楽にはじめられて, しかも大学の教官や学生を含めた数学や自然科学関係者が集まっている場所として, Twitter をお勧めしておきます.
私のフォロワー・フォロイーを見ればたくさんその手の人がいるので, 適当に探してみてください.
- https://www.twitter.com/phasetrbot
もちろん私に質問してくれても構いません. 時間があれば対応します.
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第 8 回 数列とは何か?/中高数学駆け込み寺¶
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数列の話¶
今回は数列の話です. あまりそういう扱いをしませんし, 高校では数列特有のように見える話ばかりかもしれません.
しかし数列は特殊な関数でしかありません. 全てとはいえませんが, 漸化式も微分方程式の数列版と見なせる部分があります.
実際に微分方程式との連携も見ながら数列や漸化式を眺めます.
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第 8.5 回 文系の数学/中高数学駆け込み寺¶
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はじめに¶
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今回のテーマ¶
今回は次の問題について考えてみましょう.
- 文系に数学はいるんですか?
- 必要とだとしたらどんなときにどんな数学がいるんですか?
時々大人でも「自分は文系だから数学なんていらない」とかいう人がいますし, 中高生の参加者もいる想定なので, 念のため書いておいた方がいいのだろうかと思いまして.
結論¶
まずは結論.
- 文系とか理系とか関係なく多くの人にとって数学は必要ありません.
- しかし時々とんでもないところで必要になります.
この必要なところについては後半で説明することにして, まずは「多くの人にとって数学は必要ではない」ところから.
必要ないとはどういう意味か?¶
ここでの必要の有無は「高校・大学を出てから使うか」という基準で書いています. 私ですらふだん仕事で数学それ自体は全く使っていません. 「全く」です.
「数学を学ぶ中で身についたこと, 論理的思考みたいなのは使っていないのですか?」 というご意見もあるかもしれません.
しかし自分に関していうなら, 数学をやっていなくても多分何かしらで身についたことと思っていますし, 牽強付会に「数学が必要」というのはおかしいと思っています.
たいていの人が使うのであれば, 「数学ができなくてもいい」という人がこんなにたくさんいるわけもありません.
不幸にも数学が必要になった人¶
大学の文系分野で必要な数学という話もありますが, まずは「不幸にも数学が必要になった人」の話をしましょう.
「高卒社会人の学力問題」という記事です. 舗装会社の方が体育会系出身の新人社員が, 密度の計算以前に概念を理解していないとか, 1 時間を 100 分で計算しようとするとか, そういう話をしています.
この事例でいうなら数学というより算数と言った方がいいのかもしれません. 私からすると想像を絶するレベルなのですが, あなたはどう感じたでしょうか?
これは本当に気になるのでぜひコメント頂きたいのですが, それはともかく.
あなたがこういう計算も「数学」と思うのなら, 人によっては本当に数学が必要になることがある, この事実自体は認識してもらえると思います.
ただこれが世間に溢れているなら, もっと数学ができなくてはいけない風潮になっているはずです. やはり特殊な事例なのだとは思います.
体育会系だから勉強できなくてもいい, それは危険なことはありうる, そのくらいのことはいえます.
数学は本当に全く必要ないと言えれば楽でいいのですが, そうも行かないのがつらいところです.
高校・大学を出てから使うかどうかでいうと こんなところです.
もちろんメーカーで技術職, 特に開発職・研究職になろうと思うならもっときちんとした勉強が必要です.
何をどのくらいというような話もできますが, 今回これ以上は深く触れません. この講座のテーマである微分方程式が大事なことだけは強調しておきます.
話を戻して¶
話を元に戻しましょう. 今回のメインテーマは文系で使う数学です.
統計学¶
一番大きなところは統計学です. 今は中高のカリキュラムにも入ってきています. これはそれだけ大事だからです.
イメージしやすいのはデータを扱う分野でしょう. ニュースでグラフが出てくることがよくあります. グラフがあったらその背後に統計学をはじめとする数学があると思ってください.
大きくわけて大学では文系は人文学と社会学にわかれます. 社会学は法学や政治, 経済のような分野とでも思ってください.
この社会学ではいろいろな統計データを扱います. 犯罪率だとか人口の比率だとか, 国際的な貿易の取引額だとか. そうしたデータを処理するときに必ず統計学が出てきます.
統計学が出てくるならそこで数学を使います. 難易度のイメージとして高校の数 III 程度をイメージしてください.
実際には正規分布の処理で高校の数 III を越える積分が出てくるため, 高校程度の数学ができたくらいでは全く足りないのですが, まあいいでしょう.
大学受験¶
あと使うイメージを持ちやすそうなのは大学受験でしょうか. 特に経済は数学受験できる大学があります. 受験科目に課すのはもちろん入学後に使うからです. 必要のない科目をわざわざ試験科目にしませんから.
ここまでは社会学に関して触れてきました. ニュースでも目にするデータと絡んだ分野が多いので, イメージしやすかったはずです. ここからは人文学の話をします.
人文学での数学¶
人文学というと心理学や言語文化学といった分野を含みます.
数学なんて関係なさそうに見えるかもしれません. しかしここでもやはり統計学が出てきます. 具体例を挙げていくと数限りないので, 2-3 の事例を紹介するだけにしておきます.
心理学¶
まずはイメージなさそうな心理学にしましょうか. 残念ながら心理学でも数学を使います. やはり統計学が必要だからです.
心理学でも実験をやります. その実験のデータ処理で統計学を使います. 私も心理学は全く勉強したことがないので細かいことはわかりません. ただデータが出てきたらその時点で統計学との戦いがはじまります. 実際シラバスを見れば統計学の講義がありますし, 心理学科の教員が書いた統計学の本さえあります.
国際言語文化学と数学¶
次のページを見てみてください.
このページでは言語文化学として歌手の槙原敬之の歌詞を研究しています. 上記ページに論文へのリンクもあるのでぜひ論文も眺めてみてください.
論文中で「多変量解析」という言葉が出てきます. これは統計学の用語です. つまり数学を使っているという宣言です.
どんなことをやっているかを簡単に言うと, 要はどんな単語がどのくらい出てくるかを調べるため, 歌詞を単語に切って単語数をカウントしているわけです.
それをいろいろな観点から眺めるために統計学の処方に従って計算をしています.
言語学と数学・統計学¶
もっと身近なテーマがあります.
計量言語学という分野があります. 計量と名前のついた分野は基本的に数学, 特に統計学を使いますという宣言を分野名のレベルでやっています.
実際にどんなところで使われているかというと, 例えば携帯の漢字かな変換です. 特に自然言語処理という分野があるのです.
携帯を手に取って¶
あなたが実際に携帯をお持ちなら, 適当な言葉を打ってみてください. 何文字か打つと候補が出てくるはずです. そしてその候補を他の人と比べてみてください. 結果が違うはずです.
結果が違うということには原因があるはずです. そしてそこに数学が使われています. ここで詳しく書ききれないので簡単にポイントだけ書いておくと, 要は確率の計算をやっています.
「この人はこういう言葉をよく使うから, 今回もこの言葉を前に出しておくと便利だろう」, そういう配慮をしてくれるのが携帯の漢字かな変換で, それを確率で判断しているわけです.
その確率を決めるために裏で統計的処理をしていて, そこでまさに統計学が出てきます.
人工知能の裏にある数学¶
最近人工知能や機械学習がよく話題に上がります. 最近の有名な動きに関して言うなら, これらの背景にも数学があって, その数学の大きな目玉は統計学です.
統計学で使う数学は中高数学のほぼ全てです. 先程も書いたように中高数学のレベルでは足りなくて, もう少し面倒な大学レベルの数学も必要になります.
そんなところまで無理にやる必要はありません. しかし必要な人には必要ですし, 社会の裏側を支える人間になりたいなら, それに対応する数学を使える必要があります.
社会に対して何かを仕掛ける側に回りたいなら, あなた自身が数学を使える必要はないかもしれません. しかし数学ができる人を味方につける必要があります.
コミュニケーションの道具として英語を使うのと同じように, そうした技術的な話題のためのコミュニケーションの道具として数学が使われています. あなた自身もある程度は数学を理解しておかなければいけないかもしれません.
数学の話をわかってもらえていた方が, 明らかにコミュニケーションコストが下がります.
まとめ¶
最後, 必ずしも文系の数学というところではなくなりました. 社会に出てから使うかどうかは人によります. しかし使わなければいけない状況自体は存在します. 他はともかく大学で使う機会はかなり多くの人にあります.
私が中高生の頃, こういう話をしてくれる大人はほとんど見かけませんでした. どこかで誰かは話しておいた方がいいと思うので, 今回特別に 1 回分を割いてお話しておきました.
興味がある方が多ければ, 今後この辺の話, 特に統計学とその応用についてもミニ講座を作る予定はあります. 気になる方はぜひコメントください.
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第 9 回 漸化式から微分へ/中高数学駆け込み寺¶
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漸化式から微分へ¶
今回は漸化式から微分へいたる道を辿ってみました. 最初の方では雑に微分から漸化式に流していたところにようやく辿り着きました.
次回はお待ちかねの微分です. 微分の定義と微分の近似からの漸化式を再現します.
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第 9.5 回 習慣の力と習慣化のための 4 つの秘訣/中高数学駆け込み寺¶
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今回のテーマ¶
今回は次の問題について考えてみましょう.
- どうすれば数学を続けられるのか?
習慣化の視点¶
このテーマは既に 1 度考えています. 今回はその復習に加えて, 習慣化という観点からお話します.
数学に限らず何かをしようと思ってもなかなか続きません. 私の場合, 数学なら放っておいてももう勝手にやるのですが.
しかしそれ以外がなかなか続きません.
コンテンツ制作にも関わるし, 好きなのでイラストを描く練習をしたいのですが, ついつい忙しさにかまけてさぼってしまいます.
他にもプログラミング, 特に今回も扱っているような数学関係のプログラミングも, なかなか勉強や研究が続きません.
他にも, 私は中学の頃に白血病になってしばらくまともに運動していませんでした. 本当に体力がなく, いい加減そこを何とかしようと思って筋トレしたり, 休みにジムに行ってランニングしたりしています. 毎日の筋トレくらいならまだしも, ジム行きはなかなか続かないですね.
というわけで継続して何かをする, ということに関しては私もあなたと同じようなところはあります.
比較しよう¶
続けられていることと続けられないことを比べれば, 続けられないことが何故続かないのかもわかります.
私自身に関する調査・研究結果だけでなく, これまでいろいろな方の様子を見てきた結果と合わせて継続に関するポイントをお伝えするので, ぜひ参考にしてください.
習慣化¶
最初にも書いたように続けていることは習慣になっています. だから習慣化を意識するのが大事です. ポイントを箇条書きでまとめておきます.
- 21 日続ければだいたい続く.
- 難しいことをすると心が折れる.
- 続けられるくらい小さい単位で.
- とにかく自分をほめる.
聞くところによると 21 日続けられればそのまま習慣として続けていけるそうです.
3 日坊主とよく言います. 21 日続けられるかが山場なので, まずは 21 日続けるための方法を考えましょう. ちなみにこの講座は本編が全 13 回で, その合間に今回のような勉強継続法のような小ネタを挟み, 全 23 回シリーズにしています.
この小ネタメールも 5-10 分程度で読み切れるはずなので, このメール講座に毎日取り組んでもらえれば, 自動的に 21 日を越えられるようになっています.
簡単にする・小さくする¶
21 日続けるための方策として, できる限り簡単にすることが大事です.
例えば筋トレをやるにしても, いきなり腕立 100 回を毎日というと絶対に挫折します. はじめの 3 日くらいで疲れ果てて確実に心が折れます.
1 日 3 回でいいからその代わり毎日ちゃんとやろう, という方が確実に続けられます. これは私の実感でもあります.
あとで少し書くように私は中 3 で白血病になり, そこからろくに運動していないので本当に体力がありません.
ここ 1-2 年でいい加減何とかしようと思って, 体力増進を兼ねた筋トレもはじめて, 実際に 1 日 10 回を 3 セットくらいのレベルで地味に続けています. 継続のために大事な工夫です.
数学でも同じことをしましょう. 難しさの基準は無理なくどころか, 毎日絶対に続けられるくらいの小さい単位が基準です. 「がんばればできる」というのでは, がんばる必要があって確実につらくなります. 1 日 5 分でいいから数学に触れ続けてください.
本を開いて眺めるだけ¶
これだけで十分です. 中身を読まなくても構いません. 何か数字とアルファベットが書いてあるようだ, このくらいのレベルで「眺める」のでもいいです.
その代わり毎日ちゃんと 5 分はその時間を作る, そういう意識でやりましょう.
この講座の各回を 1 つ眺める, それでも十分です. 通勤・通学のような細切れ時間にやるだけでももちろん OK.
本を持ち歩くのは大変でも, スマホでネットにアクセスするのは簡単でしょう. PDF 配信だと PDF の見方がわからないと言われることがありました. それでも記事へのアクセスなら簡単なはずです. それもあって記事の形で配信しています. ぜひ有効活用してください.
自分をほめる¶
あと大事なのはとにかく自分をほめることです. 馬鹿みたいな話ですが本当です.
私の場合, コンテンツに活かすべくイラストの練習しているとき, 「これ下手だな」と自分で自分の気分を下げてしまうことがよくあります.
これは本当によくないのです. 「今日もさぼらずきちんと練習できたな」のように, 練習したこと自体を褒めるくらいでちょうどいいです.
自分に期待しすぎない¶
子どもが何かできるようになったとき, 小さなことでも「よくできたね」「すごいね」と褒めると思います. それを大人になった自分にもしてあげましょう.
できる人は何の苦労もなくできるしやっているのですが, 私含め, 気楽に褒められない人も多いです. ガンガン褒めてあげましょう. 人を褒めること自体いい習慣でもあります.
まとめ: 4 つのポイント¶
もう 1 度まとめておくと, 習慣化の秘訣は次の 4 つです.
- 21 日続ければだいたい続く.
- 難しいことをすると心が折れる.
- 続けられるくらい小さい単位で.
- とにかく自分をほめる.
私の事例: 覚悟を決める¶
あと全く参考にならないと思いますが, 私の数学の習慣化に関してお話しておきます.
私の場合, 中学 3 年の 1 月に白血病になりました. 細かいところは他でも書いているので省きますが, 身体が動かないなら頭が使えるようになろうと思い, 高校になったら死に物狂いで勉強するぞ, 特に皆が苦手な数学をやっておけばきっとどこかで活きるはずだと思い, 決意を固めました.
高校入学直後, 高校では毎日「2+学年」分の時間を家庭学習するべきだと言われました. それを素直に受けとめて, 毎日「2+学年」分の時間勉強していました.
上の決意・覚悟もありますが, 特に数学が苦手だったこともあり, とにかく数学をしていました.
少なくとも 1-2 年の間の家庭学習で 90% 以上は数学をしていたと思います. それ以外は英語の予習か試験前の勉強で, それ以外の記憶がほとんどありません.
これは習慣化というより固い決意と覚悟の問題で, その「初心」を今でも忘れていないという極めつけに特殊な事例だろうと思います. 最初は軽くとか言わず, 高校に入ってからいきなり毎日 3 時間家庭学習はじめましたからです.
余計な話をはさみました. 結局ゆっくりじっくり地道に進めるのが 1 番です. 思い詰めずゆるくやるのが継続のコツです. この講座もそのくらいのゆるさ・軽さで取り組んでください.
コンテンツ一覧¶
次のページから配布コンテンツが確認できます.
- 応用からの中高数学再入門 自然を再現しよう https://phasetr.com/archive/fc/course/rrfa/
1 回 1 回は短いのですぐ読めると思います. 通勤通学の合間のような隙間時間に読んでみてください.
アンケート¶
毎回アンケートを取っています. 何かコメントがあればお気軽にどうぞ.
質問があれば直接メールして頂いても構いません. お返事は確約できませんが, 必ずメールは確認しています.
ではまたメールします.
第 10 回 特殊な漸化式と微分方程式 微分方程式のシミュレーションの観点から/中高数学駆け込み寺¶
コンテンツへのリンク¶
次のページにアクセスしてください. アニメーションやプログラム実行結果を含むコンテンツが見られます.
あなたは検索などで直接この web ページを見ているかもしれませんし, 無料通信講座の案内ページから来ているかもしれません. 次のページに一覧が置いてあるので, どんどん先に進んで見てもいいですし, 興味あるページだけつまみ読みしても構いません. お好きなように受講してください.
また, このコンテンツ・通信講座は有料コンテンツの一部として組み込んだほど, きっちり作り込んでいます. この有料コンテンツに興味があれば, 案内ページにアクセスしてみてください. このページを見るだけでも今後の勉強の参考になるように作っているので, 買うかどうか関係なしにご覧頂くことをお勧めします.
メルマガ原稿¶
コンテンツへのリンク¶
今回のコンテンツを配信します. 次のページにアクセスしてください.
特殊と一般をつなげる¶
ここまで微分方程式と漸化式の関係を見てきました. しかし一般論を展開しようとしていたので, 何をどうするのか話が上滑りしてきています.
そこで一般論は切り捨てて, 特殊な漸化式と特定の微分方程式を考えることにします. こうすると等比数列が本当に出てきます.
そしてようやく最初にやった物理や経済, 生物の話につながります. その様子を眺めて見てください.
次回は微分の一般論やイメージについて, 高校ではあまり触れない部分に注目して説明します.
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第 10.5 回 プログラマの数学:遊びのとっかかりを作ろう/中高数学駆け込み寺¶
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はじめに¶
ここまでのコンテンツは確認されたでしょうか? 1 回 1 回は 10 分もあれば十分に読み切れる量です. 通勤通学中などの空き時間にでも眺めてみてください.
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今回のテーマ¶
今回は次の問題について考えてみましょう.
- 数学を学ぶのにプログラムを有効活用したい!
私の率直な気持ち¶
これに関しては私の次の率直な気持ちがあります.
- 微分方程式のシミュレーションが楽しいのでやりたい!
- 中高生の頃の自分もこんなのあったら絶対喜んだはずだからぜひやりたい.
- 統計学の応用でいろいろな話があるし, ここをおさえればいろいろな人と話せる, 組める要素ができてまた楽しくなるはずだから勉強したい!
こう思っているだけでは話が進みません. 何か実績を作る必要があります.
自分だけでやっていると絶対にやらないので, 人を集めて講座を作ってしまえばやらざるを得ない状況ができます.
その状況を作ったのがこの講座とも言えます. 基本的には自分が楽しいと思うことをやっています.
私が楽しいと思うことを楽しいと思う人がいる¶
これまでいろいろやってきて, 自分と同じように考える人がいることを知っています.
数学というネタがネタなのでたくさんはいません. 受験のような巨大産業になるところでもありません. しかしたくさんいないからこそ, 応える人が少ない現状もあり, そこに私が参入する意味や楽しめる要素がたくさんあると判断しました.
ネタはたくさんあります. 現実的に応用があり産業になっている話に限っても追い切れないくらいあります.
今回は理工系の必須教養である微分方程式をネタにして扱ってみました. 微分方程式は理工系のありとあらゆるところで使われているため, 遊べる要素もたくさんあります.
理工系以外の方にも「こんな遊び方があるよ」というのを紹介してみたい, という欲求もあります.
その人自体がやらなくても, その人の周囲にいる中高生に情報が届くかもしれず, そういったところも狙っています.
ここに関してはいろいろ実験をしています. 「こんなのもあったら嬉しいんだけど」という要望があればぜひ教えてください.
またいろいろな実験をしていきます.
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第 11 回 微分の一般論/中高数学駆け込み寺¶
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前回でようやく漸化式と微分方程式をつなげました. 今回は微分それ自体を詳しく眺めます.
もしかしたらあなたは線型代数という言葉を聞いたことがあるかもしれません. これはベクトルや行列を議論する分野です.
この線型という視点が微分にとって重要です. 具体的には曲がったものをまっすぐなもので近似する, つまり線型近似するのが微分の基本です. これはベクトルのところでも説明したことです.
詳しくは今回配信分のコンテンツを見てください.
祝! 本編終了¶
今回でこの講座の本編は終わりです. 微分を中心にして中高の数学を繋げるストーリーの 1 つを紹介しました.
もちろん他のストーリーもいろいろあります. 今回紹介したのはあくまで 1 つのストーリーであり, それも理工系特化型のストーリーです. あなたにとって今回以上に楽しいストーリーもあるでしょう. ぜひいろいろなストーリーに触れてみてください.
次回は今後の勉強の指針をお伝えします. 具体的な参考書もお伝えしますし, 参考書の選び方・勉強の仕方も改めてお伝えします.
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第 11.5 回 覚悟のすすめ/中高数学駆け込み寺¶
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はじめに¶
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今回のテーマ¶
今回は次の問題について考えてみましょう.
- 「覚悟」を決めよう.
かなり強い言葉なので, あなたは不穏な気配を感じたかもしれません. しかしそんなに大した話でもありません. 気楽に読んで使えるところに取り入れてください.
結論¶
結論からいえば何かを決めると楽になります. 考えなくて済むようになるからです.
例えばあなたが社会人なら仕事管理で TODO リストを作れ, と言われたことがあるかもしれません.
これも理由は単純で, 「次に何をしようか」と考える時間が本当に無駄だからです.
「これが終わったら次はこれ」, 決めておくと迷うことがなくなり, 本当にスピードが速くなります.
余計なことを考える時間があると, ちょっとネットサーフィンしてしまってそのまま時間が過ぎてしまった, そんなこともよくあります.
いろいろな覚悟¶
TODO リストを作ったとしても結局はきちんとその通りにやろう, そういう覚悟を決める必要があります.
これもいきなり大きなことをやろうとすると即刻挫折します.
そもそも 1 つ 1 つの TODO 自体を小さくしましょう.
最初は 1 日必ず 5 分中高数学駆け込み寺の記事を見る, それさえ終わったら後は好きにしていい, そのくらいの内容でも構いません.
TODO をたくさん入れてしまうと本当にきつくなります. 毎日ちゃんとこなせる量の小さなタスクをちゃんと積み上げましょう.
本当は大目的があった上で, それをブレークダウンして日々のタスクに落とす, そういう作業が必要です.
この辺は要望があればもっと突っ込んで話をしようと思います. まずは軽いところからはじめてください.
負荷を極限まで小さくする¶
特にこの講座に参加された方にとって, 数学を勉強することそれ自体が精神的に大変なことでしょう.
大変に思わないレベルまでタスクを小さく小さくしてください.
記事を読むどころかページを開いて何となく眺めるとか, 最初はそれで十二分です. 格好をつけず小さくはじめる, これもまた覚悟なのです.
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第 12 回 今後の数学の勉強の指針/中高数学駆け込み寺¶
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今後を見据えて¶
前回でいったん微分を中心にして, 中高数学を見る一連の視点を紹介しました.
それを受けて今後の勉強の指針について紹介します. 基本は勉強を続けるための環境作りにフォーカスしています.
具体的な本もいくつか紹介しています. しかし教科書の類については選定の基準だけ書くことにして, 数学の勉強に対するモチベーションを上げてくれるタイプの本をたくさん紹介しています.
今までの様子を見ていると, ふつうの教科書や参考書を紹介するよりリアクションがよかったからです.
いくつか具体的なご要望も頂いています. それはそれで今後お応えしていきます.
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第 13 回 さらなる数値計算プログラミングへの道/中高数学駆け込み寺¶
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メルマガ原稿¶
コンテンツへのリンク¶
今回は補足的な内容です. 次のページにアクセスしてください.
今回は大変¶
今回は数学的にも式が複雑で, これまで以上に長いプログラムが出てきます. その分, 役に立つ内容に一歩踏み込んだ内容です.
数学+プログラミングに関する今後の学習案内の面もあるので, 「こんな言葉があるのか」, 「こんなことまで考えないと役に立つプログラムにならないのか」, こうした観点からプログラムを使って描いた図を確認してもらえれば十分です.
数学への道ははじまったばかり¶
この連続ミニ講座のコンテンツも今回で最後です. しかしあなたの数学・プログラミング学習ははじまったばかりです. 細々とした勉強に疲れてきたとき, ぜひこのコンテンツを使って数学の大きな姿を今一度確認してください.
次回はここまでの取りまとめとしてアンケートを取ります. 実際に頂いたコメントも紹介しながら, いろいろな勉強のヒントもお伝えします.
コンテンツ一覧¶
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第 14 回 終了後アンケート/中高数学駆け込み寺¶
コンテンツへのリンク¶
あなたは検索などで直接この web ページを見ているかもしれませんし, 無料通信講座の案内ページから来ているかもしれません. 次のページに一覧が置いてあるので, どんどん先に進んで見てもいいですし, 興味あるページだけつまみ読みしても構いません. お好きなように受講してください.
各回のコンテンツへのリンクは次の通りです.
- 第 01 回コンテンツ掲載ページ: nbviewerjupyter.org
- 第 02 回コンテンツ掲載ページ: nbviewerjupyter.org
- 第 03 回コンテンツ掲載ページ: nbviewerjupyter.org
- 第 04 回コンテンツ掲載ページ: nbviewerjupyter.org
- 第 05 回コンテンツ掲載ページ: nbviewerjupyter.org
- 第 06 回コンテンツ掲載ページ: nbviewerjupyter.org
- 第 07 回コンテンツ掲載ページ: nbviewerjupyter.org
- 第 08 回コンテンツ掲載ページ: nbviewerjupyter.org
- 第 09 回コンテンツ掲載ページ: nbviewerjupyter.org
- 第 10 回コンテンツ掲載ページ: nbviewerjupyter.org
- 第 11 回コンテンツ掲載ページ: nbviewerjupyter.org
- 第 12 回コンテンツ掲載ページ: nbviewerjupyter.org
- 第 13 回コンテンツ掲載ページ: nbviewerjupyter.org
また, このコンテンツ・通信講座は有料コンテンツの一部として組み込んだほど, きっちり作り込んでいます. この有料コンテンツに興味があれば, 案内ページにアクセスしてみてください. このページを見るだけでも今後の勉強の参考になるように作っているので, 買うかどうか関係なしにご覧頂くことをお勧めします.
メルマガ原稿¶
ここまでの確認¶
ここまでのコンテンツは確認されたでしょうか? 1 回 1 回は 10 分もあれば十分に読み切れる量です. 通勤通学中などの空き時間にでも眺めてみてください.
終了後アンケート¶
前回でいったん中高数学駆け込み寺の微分方程式編が終わりました. 終了時アンケートとして全体としてこの講座がどうだったか, そしてこれからどんなことをしてみたいかを伺いたいと思っています.
具体的に要望が多いことを優先していくので, やってみたいことがあるなら積極的に回答をお願いします.
各 .5 回のメール配信分もぜひ読み返してみてください. 数学に限らず何かを続けるために大事なことをまとめています.
いったんこの微分方程式編自体は終わります. 今後も関係する話は随時案内します. 新講座がはじまったらそれも案内するのでぜひ楽しみにしていてください.
要望を見ているとトピックごとの話ではなく, 中高数学の全範囲をいわゆる役に立つ話や身近なテーマとも絡めて, 解説された大きなコンテンツや教材がほしいというニーズもあるようです.
メルマガ案内¶
次のページで定期発行しているメルマガに登録できます. ふだんはここからの情報発信がメインです.
- メルマガ案内ページ https://phasetr.com/archive/course/mm/
ぜひ興味のあるメルマガがあれば登録してみてください. 数学・物理・プログラミングばかりではなく, それらの学習に役立つ語学の情報も発信しています.
数学は一朝一夕で何とかなる話ではありません. 長い付き合いになるはずです. 今後ともよろしくお願いします.