『やさしい理系数学』例題の詳しい解説 数学ができる人はこんなふうに問題を見て考える!¶

おことわり¶

これはKindleで出版している本の原稿をもとにしています. Web掲載に合わせて編集せずに原稿をほぼそのまま載せているため, Web上では読みにくい可能性があります. 必要に応じてKindle版を購入してください.

はじめに¶

この本では[@KazuhiroMitsuya1, 『やさしい理系数学』]の例題を元に脳内授業の仕方を説明します. 脳内授業に関しては同じく Kindle で出版している『独学のすゝめ』[@phasetr6]を参考にしてください. この本を書いた理由は, まさに上の『独学のすゝめ』の読者さんに「実際にどう独学を進めればいいかわからない, わかりづらい」と相談されたからです. そこで, 実際に『やさしい理系数学』の例題を使って受験生に指導したときのノートを公開する形でこのご要望に応えました. この本はよく「解説が少ない」と言われます. 使ってみてわかりましたが別解もたくさんあってなかなか楽しい本ですが, やっぱり受験生は使いづらいみたいです. そういうこともあって, 毎回資料を準備して指導していました. それがこの本の雛形になっています.

ほぼ暗記しかやりようがないような問題や微分方程式などいまの課程外の問題もあるため, 全ての例題を解説しているわけではありません. 何より, どんな感じで脳内授業していけばいいかを説明する素材として『やさしい理系数学』[@KazuhiroMitsuya1]を使っているだけなので, あらかじめご了承ください. 正式な解答や演習問題についてはきちんと『やさしい理系数学』を買って確認してください. 量をこなせばいいわけでもないですが, 例題の 50 題だけでは少なすぎるのも事実です. 薄い本なので全体を通して取り組みやすいです. 演習問題まできちんとやりましょう. 演習問題ふくめ, 「この本に載っていない分の問題の授業の様子も知りたい!」というご要望があれば, 追加は検討します. 指導していた生徒さん達がとても素直だったこともありますが, この内容で指導した高 3 生は 3 ヶ月指導しただけで偏差値が 47 から 62 まで上がりました. 『やさしい理系数学』は難しく気楽に読める本ではないでしょう. でも, 読めば必ず身になるよい本です. 特に難関大の理系受験生の皆さんはこの副読本も参考にしながら『やさしい理系数学』をしゃぶり尽くしてください.

もしかしたらあなたは私のこの本を読んで, 「このくらいなら自分でもできる」「大した解説じゃない」「このくらいの解説なら自分でもできる」と思ったかもしれません. そんなあなたはぜひ数学科に来てください. 教官含め, 数学科の人達はそういう人材を待ち望んでいます. 私は中高と数学が苦手で, 受験でも苦しんで「こんなに数学ができないんじゃ数学科に行っても何にもならないだろう」と思い, 物理学科に進学しました. 物理もたいがいひどかったですが数学よりはよかったのです. それでも大学に入ってからもずっと数学を勉強し続け, 大学院では東大の数学科 (数理科学研究科) に行って何とかやっていけるくらいに数学への耐性だけはつきました. まがりなりにもきちんと研究して成果も残せました. どんなに小さくマニアックな分野の結果であろうとも, 世界ではじめての, 前人未踏の結果です. 現時点ですら「この程度」の解説しか書けず, 受験でこれ以上ないほど数学で苦しんだ私でも, です. 私の受験生の頃の数学はもちろん今よりもはるかにひどい状態でした. ここまでの深さで数学を理解もしていなかったし, きちんと暗記もできていませんでした. それでも努力を続けて大学院で数学科に進学するレベルになりました. あなたがいまの時点で私を越えているならすごいことです. もっと遠く深い世界に行けるでしょう. 数学科でなくても大学は楽しいです. 大学進学後は思う存分学業に打ち込んでください.

さて, 本題に戻ってこの本に関する説明に戻ります. 実際の指導で何度も強調したことは実際に本文でも説明していますが, ここにもまとめておきましょう. メインは次の 2 つです.

• 覚えるべきことはきっちり覚える.
• 実験してみる.

まずは言うまでもないこと, 暗記です. 数学ではよく理解が大事と言われます. それは当然です. そのうえで覚えるべきことはきっちり覚えてください. 極端なことを考えてみましょう. 微分積分の理論それ自体を試験本番の短かい時間で思いつける自信がありますか? ふつうの人どころか天才でも無理です. 数学史, 人類史に名を残すレベルの天才が何年, 何十年もかけてようやく思いついた解法があって, それが前提になっている問題があります. むしろ「昔の人はすごいこと思いついたな」と素直に驚くところです. 微分積分はニュートンやライプニッツのように, 数学史, 科学史, 人類史に名を刻む天才が長い時間をかけて見つけた概念です. そんなのが試験時間中にホイホイ思いついたら苦労しません. 大学受験で出てくる問題とその解法にはそのレベルの「こんなもん試験時間内に思いつくか」という解法が割とたくさんあります. そういうのはもう覚えておくしかありません. 時間をかければ思いつけるかもしれませんが, そんな危険な勝負は勧められません. あなたは大学に入って自分の好きな勉強をすることが一番の目的のはず. 大学入試はさっさと通り抜けてほしいです. 私は一浪したとき, 早く大学に入りたくてたまりませんでした. 浪人が無駄とまでは言いませんが意味もなく遠回りをすることもないでしょう.

[@phasetr6, 『独学のすゝめ』]でも説明しているように, 大学で覚えなければいけないことは, 少なくとも高校 3 年間でやる量とは比べものにならないくらいたくさんあります. 日本史, 世界史, 地理や英単語のように, どうしたって覚えていないといけないことはたくさんあります. 数学でも同じです. 身近に大学生がいるなら, 知っている数学の定理や公式, 理論を名前だけでも挙げてもらってください. どれだけ多くのことを覚えていないといけないかがわかります.

理解はもちろん大切です. 理解しなくていいとは一言も言っていません. ただ特に難関大学を受ける生徒さんほど理解を重要視しすぎて暗記がおろそかになってしまって, 点数が伸びないことがあるから, あえて強調して言っています. むしろ理解にばかり重心があって暗記がおろそかになっている人がとても多いです. 受験生の頃の私もそうでした. 私の失敗をくり返してもらいたくありません. 覚えるべきことはきっちり覚えてください.

本当にひらめきが必要になったとしたら, それはもう受験勉強ではなくて研究です. 大学受験や大学院の院試すら飛び越えています. そんなこと, そもそも求められていません. 私が学部のときの指導教官, 早稲田の応用物理学科の大谷光春先生は, 自分が一番いい仕事, 研究をしたときのことを次のように言っていました.

あのときは自分でひらめいたというよりも, 天からパーッと啓示がふってきたかのようだった. あの感覚は言葉で言い表せない.

試験会場でこんなことになったら, むしろその感動で試験どころではなくなってしまいます. 実際センター試験中にある数学的な事実に気付いてしまい, 感動してしまってどうしようもなくなってしまった, という人が本当にいます.

数学だとあまりにも暗記についての認識がおかしい人がいます. きちんとした暗記は本当に必要です. 他にも勉強法についていろいろ言いたいことはありますが, 詳しくは『独学のすゝめ』[@phasetr6]を読んでください.

次, 実験です. 受験であまり強調されているのを見たことがないのですが, 数学に限らず研究するときにも大切なことです. 単に受験というだけではなくて, 大学・大学院で研究するときにも大事だし, 社会に出てビジネスするときにも大事です. あとで具体的な問題で具体的に解説しますが, いきなり一般的に考えないで具体的な値で試してみるといったことです. 当たり前と思っている人には当たり前ですが, できていない人, もっと言えばそもそも知らない人も多いのです. ここではふわふわしたことしか言えないので, ぜひ本文を読んで実験という大学・大学院に入ってからも使える大切な研究手法を身につけてください. 具体的にどうやるかは本文をしっかり読んで真似して体得してください.

前置きが長くなりました. それでははじめましょう!

解説¶

第 1 章 数と式, 論証 例題 1¶

問題 1¶

\begin{exercise}[九州工業大]\label{univ-entrance-exam9} $a$, $b$, $c$ は整数で, $0 < a < b$ とする. 整式 $$\begin{array}{rrrr}& {\displaystyle f(x)=x(x-a)(x-b)-17}& & \end{array}$$$$\begin{align} f(x) = x (x-a) (x-b) - 17 \end{align}$$ が $x-c$ で割り切れるとき, $a$, $b$, $c$ の値を求めよ. \end{exercise}

ポイント: 問題 1

因数定理 (一般には剰余の定理), 素数, 整数の扱いがポイントだ. この問題の最初の勘所は $c$ を解にもつと言わずに $(x-c)$ で割り切れるといっているところ: この言い換えをきちんとクリアする必要がある. ある程度できる人・慣れた人ならこのくらいは簡単だろうが, 適切に条件を言い換えていく練習はやはり必要だ. そしてはじめから因数分解してくれているのもポイントで, 誘導をうまく使う必要がある. これもなかったら問題が一段難しくなるポイントだ: 問題 \ref{univ-entrance-exam41} を見るとそれがわかる. 最後の吟味はしらみつぶしでもいいが, 順序に着目すれば手数が減らせる. 手数が減ればミスも減るから, なるべく楽にするために頭を使うのはとても大事.

方針: 問題 1 まず注目したのは $(x-c)$ で割り切れるという条件だ. 割り切れるというのだから実際にそう書いてみよう. $$\begin{array}{rrrr}& {\displaystyle f(x)=(x-c)q(x)\mathrm{.}}& & \end{array}$$$$\begin{align} f(x) = (x-c) q(x). \end{align}$$ ここで $q(x)$ は 2 次の整式だ. 文章で書かれたり講義を受けたりしているとさらっと流してしまいがちだが, こういう部分をなめてはいけない. 初学者はこういう部分が本当にできない. 他の問題の解説でも何度でも繰り返し解説していくけれども, 明らかな条件や主張があるときはできる限り式で書き下してみよう. そこから発想が生まれることがある. もっと正確には次に取るべき手立てが見つかるのだ. 慣れないうちは 1 ステップごとにうるさいくらいに式を書き下す習慣をつけてほしい.

さて上の式さえ書ければ $f(x)$ は $x=c$ を解に持つことがわかるから $f(c) = 0$ で $$\begin{array}{rrrr}& {\displaystyle c(c-a)(c-b)=17.}& & \end{array}$$$$\begin{align} c(c-a)(c-b) = 17. \end{align}$$ 17 が素数で $a$, $b$, $c$ は整数だから $c$, $c-a$, $c-b$ は 17 の素因数にしかなれず, それは 1 と 17 しかない. 実際には符号も含むことに注意しよう. あとは $0 < a < b$ に注意しながらしらみつぶしで探せばいい.

もちろん実際にはしらみつぶしの前にもう少し絞り込めるし, 余計なミスも減るからそうした方がいい. 17 が素数だから $c$, $c-a$, $c-b$ のうち $\pm 17$ を取るのは 1 つしかなく, 他の 2 つは $\pm 1$ になる. 3 つの積が正だから負の数になるのは 3 つのうち 2 つだけだ. さらに $a$, $b>0$ だから $c-b < c-a < c$ で, 上の絞り込みから $0 < c-b < c-a < c$ か $c-b < c-a < 0 < c$ しかない. あとはこれをまとめて解答にすればいい. 正式な解答は『やさしい理系数学』[@KazuhiroMitsuya1]を見てほしい.

問題 2¶

\begin{exercise}[宇都宮大]\label{univ-entrance-exam10} 整式 $(x+1)^{10}$ を次の式で割ったときの余りをそれぞれ求めよ.

• $1-x^2$.
• $(x-1)^2$. \end{exercise}

ポイント: 問題 2 これも剰余の定理, 整式の除法が核だ. 二項定理や微分を使う手法も身につけたい. 特に重解を持つ整式での割り算で余りを求めるときの微分は大学でも使う標準的な方法だ. 整式を展開するのに二項展開を使う手法もきちんとおさえたい. 展開係数を二項係数で具体的に書けるのもポイントで, 整数問題で時々出てくる. また時々 $(x+1)^{2016}$ などその年特有の次数で出してくることもある. 一般的な手法もいいが, 実験や一般化してからの特殊化という手法もきちんと身につけておいてほしい.

方針: 問題 2 問題 \ref{univ-entrance-exam10} は剰余の定理を使うのが基本だろう. その基本さえわかっていれば (1) は解ける. 問題は (2) で, 具体的には重解を持っているところ. 自分で解こうとしてみればすぐわかる. これをどうくぐり抜けるかがポイントだ. その前に実験について強調しておこう. よくわからないことがあったらとりあえず実験できないかを考えよう. そのとき問題の一般化と特殊化という手法が大切だ. 要は $(x+1)^{10}$ を考えるのではなく $(x+1)^{n}$ を考えてしまうのだ. そして $n=1, 2, 3, \dots$ として様子を見てみる. できるならここから帰納法で証明していってもいい.

具体的にやってみよう. $n=1$ だと何もすることがないので $n=2$ から. そのときは $$\begin{array}{rlrrrr}& {\displaystyle (x+1{)}^2}& {\displaystyle =-(1-x^2-1)+2x+1}& {\displaystyle =-(1-x^2)+2x+2.}& & \end{array}$$$$\begin{align} (x+1)^2 &= -(1 - x^2 - 1) + 2x + 1 \ &= -(1 - x^2) + 2x + 2. \end{align}$$ $n = 3$ だと $$\begin{array}{rlrlrlrrrr}& {\displaystyle (x+1{)}^3}& {\displaystyle =x^3+3x^2+3x+1}& {\displaystyle =-x(1-x^2-1)+3x^2+3x+1}& {\displaystyle =-x(1-x^2)+3x^2+4x+1}& {\displaystyle =-x(1-x^2)-3(1-x^2-1)+4x+1}& {\displaystyle =-x(1-x^2)-3(1-x^2)+4x+4}& {\displaystyle =(-x-3)(1-x^2)+4x+4.}& & \end{array}$$$$\begin{align} (x+1)^3 &= x^3 + 3x^2 + 3x + 1 \ &= -x (1 - x^2 - 1) + 3x^2 + 3x + 1 \ &= -x(1-x^2) + 3x^2 + 4x + 1 \ &= -x(1-x^2) - 3 (1 - x^2 - 1) + 4x + 1 \ &= -x(1-x^2) - 3 (1 - x^2) + 4x + 4 \ &= (-x - 3)(1-x^2) + 4x + 4. \end{align}$$ もっとやってもいいが, 何となく余りは $2^{n-1} (x + 1)$ になりそうだ. ここから一般的な証明や帰納法のステップが踏めなくても, 「これを数学的帰納法で示す」と書いておけば部分点は来るはずだ. そういう点の稼ぎ方も覚えておくといい. 後半の (2) も同じように解ける.

自然なのは剰余の定理を使った方法だろうから, それを説明する. 商を $q(x)$, 余りを $ax + b$ とすると $$\begin{array}{rrrr}& {\displaystyle (x+1{)}^{10}=(1-x^2)q(x)+ax+b\mathrm{.}}& & \end{array}$$$$\begin{align} (x+1)^{10} = (1 - x^2) q(x) + ax + b. \end{align}$$ $1 - x^2$ は $\pm 1$ が解だからこれを代入して出てくる連立方程式を解けば (1) は終わりだ.

そして問題は (2). まず剰余の定理で書いてみよう. $$\begin{array}{rrrr}& {\displaystyle (x+1{)}^{10}=(x-1{)}^{2}q(x)+ax+b\mathrm{.}}& & \end{array}$$$$\begin{align} (x+1)^{10} = (x-1)^2 q(x) + ax + b. \end{align}$$ $x=1$ を代入すると $a+b = 2^{10}$ という条件式は出てくるが, 重解だからこれ以上の条件が出てこない. もう 1 つ条件を出さないといけないがそれをどう出すかがポイントだ. 適当に値を入れても意味はない: $q(x)$ が具体的にどんな形をしているかわからないからだ. 上のように実験して検討をつけてもいいがこれも一般的な手法がきちんとある: 両辺を微分すればいい. $(x-1)^2 q(x)$ に積の微分を使うところが気になるかもしれないが 2 次の整式だから 1 回微分しても消えない. 微分してからまた $x = 1$ を代入すればもう 1 つ条件が出る. もう 1 つは二項展開で力づくで余りを求めてしまう方法だ. 二項展開自体がやはり時々出てくる手法で, いくつか具体例となる問題・実際の応用例を確認して使いどころを複数回見ておきたいところ. そうしないと初めて見る問題, もっというなら試験本番で「ここでも使えるだろうか」という発想が浮かんでこないだろう. どちらも身につけておくべき手法だから繰り返し復習してほしい.

問題 3¶

\begin{exercise}[室蘭工業大]\label{univ-entrance-exam11} $x^n + y^n + z^n - nxyz$ が $x+y+z$ で割り切れるような正の整数 $n$ を求めよ. \end{exercise}

ポイント: 問題 3 3 次の因数分解公式, 実験, 特殊値から絞り込む, オーダーを見る (特に偶数時の振る舞い) といったポイントがある.

方針: 問題 3 まず次の 3 次の因数分解公式は覚えておこう. 時々出てくる. $$\begin{array}{rlrrrr}& {\displaystyle }& {\displaystyle x^3+y^3+z^3-3xyz=}& {\displaystyle (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yx-zx)\mathrm{.}}& & \end{array}$$$$\begin{align} &x^3 + y^3 + z^3 - 3 xyz \ = &(x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yx - zx). \end{align}$$ これを試験本番でひらめくというのはさすがに大変だ. 形自体は綺麗だし覚えにくいということもないだろう. これを念頭におけば $n=3$ が求める正の整数の 1 つであることはわかる. だから問題はこれ以外の $n$ があるかどうかで, これを示すことに精力を注ぐことになる.

これもとりあえず割り算してみよう. $$\begin{array}{rlrllll}& {\displaystyle }& {\displaystyle f(x,y,z)=}& {\displaystyle x^n+y^n+z^n-nxyz=}& {\displaystyle (x+y+z)q(x,y,z)\mathrm{.}}& & \end{array}$$$$\begin{align} &f(x, y, z) \ = &x^n + y^n + z^n - nxyz \ = &(x+y+z) q(x, y, z). \end{align}$$ 形式的に 3 変数関数 $q$ が出てくるが気にすることはない. これさえ書いてしまえば $x+y+z=0$ としてみるところまではいくだろう. $$\begin{array}{rrrr}& {\displaystyle x^n+y^n+z^n=nxyz\mathrm{.}}& & \end{array}$$$$\begin{align} x^n + y^n + z^n = nxyz. \end{align}$$ そしておそらくここで手が止まる. 一番シンプルなのは次数を見ることだ. 左辺は $x$, $y$, $z$ の $n$ 次式だが右辺は $xyz$ で 3 次式になる. この $n$ が一致しないといけないので $n=3$ しかありえない.

また別の見方として数列の極限でよく使う手法も紹介する. 受験生が知る必要は全くないが, 大学でもよく使う標準的なものの見方だ. わかりやすいように $n$ を十分大きい偶数, 特に $n = 20$ としよう. $x$, $y \to \infty$, $z \to - \infty$ ($z = - (x+y)$ だから) とすると左辺は 20 乗のスピードで正の方向に大きくなっていくが, 右辺は高々 3 次のスピードでしか大きくならないし, そもそも負の方向に飛んでいく. 要は全くスピードが釣り合わないし方向も真逆だ. これは $n$ が十分大きくなくても成り立つし, 似たような議論が $n > 3$ の奇数であっても成り立つ. $n < 3$ だと右辺のスピードが早くなる. つまり $n=3$ しかありえないのだ. これをきちんと書けば解答になる.

他には特殊値を代入して決定する方法もある. これはある種の実験と言える. 実験の一種と思えばこの問題特有の解法なのではなく一般的な手法と思えるだろうし, 実験の威力もわかるはずだ.

第 1 章 数と式, 論証 例題 2¶

\begin{exercise}[横浜市立大]\label{univ-entrance-exam12} 1 以上の整数全体の集合を $N$ とし, その部分集合 $$\begin{array}{rrrr}& {\displaystyle S=\{\hspace{0.17em}3x+7y\hspace{0.17em}\}x,y\in N}& & \end{array}$$$$\begin{align} S = \set{3 x + 7y}{x, y \in N} \end{align}$$ を考える. $S$ はある整数 $n$ 以上のすべての整数を含むことを示し, そのような $n$ の最小値を求めよ. \end{exercise}

ポイント

ポイントは実験, 分類, 特に余りによる整数の分類だ. また $S$ がある数以上の全ての整数を含むことは自明ではない. 例えば係数の $(3, 7)$ が $(2, 4)$ だったらと思えばいい. 一般に分類問題はとても大事で, 特に 2 分法がその基本になる. 要はある性質を持っているか持っていないかという話だ. 例えば偶数と奇数は 2 で割り切れるかどうかだし, 有理数と無理数は整数比で書けるかどうかだ. これについては本題とは少しずれる部分もあるが大事な考え方なので紹介しておく.

1 例として教科書にもある「$\sqrt{2}$ が無理数」であることの証明を考えよう. $\sqrt{2}$ を有理数と思って背理法を使うというのは, 元々無理数自体が「有理数でない実数」という定義であり, 有理数でないことを示す以外の方法が原理的に取りづらいということでもある. このようにして関係がないように見える手法にも関係性を見出し, 点と点を繋いで線にして構造を見抜き, 理解を網の目状に構成していくと記憶の負荷も大きく減る. ここでそもそも色々な手法を知らないと網の目も作りようがない. だから「まずは大雑把に全体を見渡して概要を把握すべし」と言っている.

あまりを見るという手法は整数に関わる問題を扱う場合の基本だ. 一般には, 適当な共通項でくくったとき, そこから漏れる部分があってそれこそがその対象の本質であるというような考え方だ. これだけ言ってもわからないと思うが, 適当に例を作って考えてみてほしい.

例が適切かどうかはわからないが, いわゆる「理工学部男子ファッション」としてのチェックシャツを考えよう. 時々ネタになるのだが理工学部の男子はチェックシャツ着用率が極めて高いというネタがある. しかしチェックシャツ着用という共通項から外れた部分にその人の本質があるわけだ. 理工学部といっても, いわゆる理学部か工学部かというだけでかなり趣味志向が変わる. これもこれで適当な共通項でのくくりになる. 理学部でも数学科か, 物理か, 化学か, 情報かといった要素でまた大きく人の特性が変わる. こうやっていろいろな要素, 共通項でくくっていってもまだ一般化されずに残る部分こそがその人の本質だと思うのだ. 自分でも適当な例を考えて「あまりに着目する」という手法を血肉にしていってほしい. 受験生が知る必要は全くないが, 数学だと 1 つの究極形としてコホモロジーという概念がある.

方針

方針 1 まずは実験してみよう. $y = 1$ とすると $$\begin{align} &\set{3x + 7}{x \in N} \ = &\cbk{10, 13, 16, 19, 22, 25, \dots}. \end{align}$$ これをどう読むか, 読めるかが命運を分ける. 実際には次のように読むのだ. $$\begin{align} &\set{3x + 7}{x \in N} \ = &\cbk{10, 13, 16, 19, 22, 25, \dots} \ = &\cbk{\text{3 で割ると 1 余る 10 以上の整数}}. \end{align}$$ さらっと書いたが, 最後の余りを見るという手法が決定的に大事だ. いわゆる整数問題の基本なのできちんと身につけておくこと. もっと一般に代数学や数論の基本でもある. つまり実験+余りを見ることでこの問題は解けるのだ. 次に $y=2$ とすると $$\begin{align} &\set{3x + 14}{x \in N} \ = &\cbk{17, 20, 23, 26, \dots} \ = &\cbk{\text{3 で割ると 2 余る 17 以上の整数}}. \end{align}$$ $y=3$ とすると $$\begin{align} &\set{3x + 21}{x \in N} \ = &\cbk{24, 27, 30, 33, \dots} \ = &\cbk{\text{3 で割り切れる 24 以上の整数}}. \end{align}$$ $S$ はこれらの和集合で互いに共通部分もない. この 3 つで尽きることが不安なら例えば $\set{3x+28}{x \in N}$ を具体的に書いてみるといい: $\set{3x + 7}{x \in N}$ に含まれることはすぐわかる. 整数を 3 で割った余りは 0, 1, 2 の 3 通りしかない. 見てすぐわかるように小さい方は尽くしきれていないが, ある程度大きい数は全て $S$ に含まれることになる. あとは含まれない数を丁寧に考えればいい.

方針 2 もう 1 つ, 基本的で標準的な手法があるのでそれも紹介しておこう. 3 と 7 が互いに素であることを本質的に使っていることが明確にわかる点でいい解答だ. 各ステップを完全に身につけておく必要がある.

大学だとよくやることなのだがまずは $n \in S$ を 1 つ取ってくる. 適当に取ってきただけなので $S$ の任意の要素だ. この $n$ がどういう条件を満たすのか調べていこうという方針を取る. まずは $S$ の要素だから何か自然数 $x$, $y$ があって \begin{align} 3x + 7 y = n \label{univ-entrance-exam42} \end{align} となる.

この次は知らなければ思いつかないだろう. $x$ は自然数としていたし本来考えるべきは $S$ の元だが, それは無視して $3x+7y=1$ となる $x$, $y$ を具体的に 1 つ考えるのだ: $x = -2$, $y=1$ とすればいい. \begin{align} 3 \cdot (-2) + 7 \cdot 1 = 1. \label{univ-entrance-exam43} \end{align} ここで辺々に $n$ をかけると $$\begin{array}{rrrr}& {\displaystyle 3\cdot (-2n)+7\cdot n=n\mathrm{.}}& & \end{array}$$$$\begin{align} 3 \cdot (-2n) + 7 \cdot n = n. \end{align}$$ (\ref{univ-entrance-exam42}) から (\ref{univ-entrance-exam43}) を引くと $$\begin{array}{rrrr}& {\displaystyle 3(x+2n)+7(y-n)=0.}& & \end{array}$$$$\begin{align} 3 (x + 2n) + 7 (y - n) = 0. \end{align}$$ これは昔, 賢い人達が死ぬ程苦労して編み出した方法で, その有効性が認められたからこそ長く伝わっているのだ. むしろ身につけるべき手法として大学で徹底的に叩き込まれるくらいの内容だ. そういうのをひらめきで何とかしようというのは人類レベルの挑戦なので, 受験のときにはお勧めできない. だからきちんと基本的なことを覚えようと言っている.

それはそれとして先に進もう. 3 と 7 は互いに素だから $x+2n$ は 7 の倍数, $y-n$ は 3 の倍数になっていなければ和が 0 にはならない. そこで整数 $m$ を使って $x+2n = 7m$, $y-n = -3m$ としてみよう. 新たな整数パラメータの導入がまた一山だ. さらに話は続く. 条件が明確なのは $x$, $y$ で, 両方とも自然数だった. 使える条件はここなので次のように書いてみる. $$\begin{array}{rlrrrr}& {\displaystyle 0}& {\displaystyle <x=-2n+7m,0}& {\displaystyle <y=n-3m\mathrm{.}}& & \end{array}$$$$\begin{align} 0 &< x = -2n + 7m, \ 0 &< y = n - 3m. \end{align}$$ ここから $$\begin{array}{rrrr}& {\displaystyle \frac{2}{7}n<m<\frac{n}{3}\mathrm{.}}& & \end{array}$$$$\begin{align} \frac{2}{7}n < m < \frac{n}{3}. \end{align}$$ 今度はこれをどう読み, どう次の手に繋げるかが問題だ. 実際には $m$ を整数として存在させるために $n$ がどういう条件を満たすべきかを示す条件と読めばいい. そういう条件と読めたのはよくても, 次の手をどう打つか, さらにはどう式として表現していくかが問題になる. 両端の差が 1 より大きければその中に自然数があるのだからそれを書き下すことになる. つまり $$\begin{array}{rrrr}& {\displaystyle \frac{n}{3}-\frac{2}{7}n>1.}& & \end{array}$$$$\begin{align} \frac{n}{3} - \frac{2}{7} n > 1. \end{align}$$ ここから $n$ が満たすべき条件が出てくる.

さらっと書いている部分もあるが, この方針では各ステップ全てが勝負どころだ. まずは丸暗記で構わない. とにかくきちんと隙なく再現しきれることを目指してほしい. それが終わったら, 次はこの類題, または同じ手法が使える問題に出会ったとき, どうすれば自分がこの解答と同じように考えていけるかを考えていってほしい. これは忘れた頃に復習してみることで実際に試してみるといい. そういう目で見ていくと上のステップの勝負どころが見えてくる. やはりまずは解答の全体像を把握することが必要だ. その上で各ステップを検討し, 自分が埋められなかったステップを埋めていこう.

補足 次のようなご質問を頂いた.

(本の) 【解法 1 】P.8 最初, $x > 0$, $y > 0$ というところで $x \geq 1$, $y \geq 1$ としなくていいのか. また $x \geq 1$ とすると答えが変わってしまう.

なかなか鋭い指摘で感心した. 結論からいうと, まず【答え】は変わらない. 変わる・変えないといけないのは解答・答案の方だ.

(計算ミスしていなければ) $x$, $y \geq 1$ として進めると $n \geq 37$ になった. 実際 $n \geq 37$ の自然数は全て $S$ に入る. 実際の答えは 22 以上だから, 22-36 まで全て含むことを 追加で示さないといけない. $x > 0$ と $x \geq 1$ でここまで変わるのも 不思議な感じはするが, ここまで見えているから本は $x > 0$ で 解答を作っているとも言える.

ここでさらに, 素直にやるなら 22-36 は 1 つ 1 つ個別確認するしかない. 37 以上は大丈夫だと示したので あとは 36 以下の自然数だけ見ればいいからだ. ただ単純に考えると, 特に試験本番で数え漏れが起きるかもしれない. 系統的に数え切る方法を考えたくなる.

その究極的な形が本の【解答 2】だ. 系統的に数えないと漏れる, そういうこともわかって, 【解答 2】の威力もついでにわかる.

このくらいまで読み込めると この問題の演習効果もぐっと上がる.

第 1 章 数と式, 論証 例題 3¶

\begin{exercise}[有名問題]\label{univ-entrance-exam13} 正の整数 $a$, $b$, $c$ が $$\begin{array}{rrrr}& {\displaystyle a^2+b^2=c^2}& & \end{array}$$$$\begin{align} a^2 + b^2 = c^2 \end{align}$$ をみたすとき, 次の (1), (2), (3) を証明せよ.

1. $a$, $b$ のいずれかは 3 の倍数である.
2. $a$, $b$ のいずれかは 4 の倍数である.
3. $a$, $b$ $c$ のいずれかは 5 の倍数である. \end{exercise}

ポイント もちろん Pythagoras の定理が元ネタで, 有名問題だ. 手法含め完璧にしなければいけない. これも問題 \ref{univ-entrance-exam12} と同じく余りと整数の分類が一番肝心なところだ. 絶対に覚えておかなければいけない. あとはおまけで「いずれかは」と来たら背理法を使ってみようと思えるか, 場合分けは分けるべくして分けることが身についているかというポイントもある. 私自身ときどき場合分けでミスすることはあるが, そういう場合は大抵問題の全体像が見えていない.

あとは小学校以来有名な等式 $3^2+4^2=5^2$ で何となくこれもありえそうと想像できるかいうか, 一般的に言えるのか, という驚きというか気付きがあるかというのもある.

せっかくなので小ネタとして Pythagoras 数も紹介しておこう. 代入してみればすぐわかるが $m$, $n$ を $m > n$ を満たす整数とし $a = m^2 - n^2$, $b = 2mn$, $c = m^2 + n^2$ とすると, これは Pythagoras の定理を満たす整数になる.

またあまりに着目するということ自体, 数学としても本質的な視点であることも紹介しておく. 例えば $14 = 4 \cdot 3 + 2$, $5 = 1 \cdot 3 + 2$ で, 共通の何か (3 の倍数で切り取れる部分) を無視しすれば $14$ と $5$ はある意味同じなわけだ. 余り 2 という共通項を持つわけで, これを 14 と 5 は似ていると思うようにする. $3$ の倍数という共通の要素に収まりきらないのが余りで, 共通部分からはみ出した部分こそが $x$ の本質だと思うのだ. 余りは名前からしても「共通の部分を抜き出したあとの余計な残り物」という感じで 否定的な要素に見えるかもしれないが, 話を反転させて余りこそを「ある部分を無視した共通項」とみなすのだ. 数学的にこれを徹底的に突き進めた概念として例えばコホモロジーがある. 現代数学, 特に代数・幾何ではもはや欠かすことのできない概念だ. ここで詳しく論じきれるような話ではないが, 余りに注目するのは数学的にも極めて重要な話なのだということだけ, 頭の片隅に留めておいてもらえると嬉しい.

方針 これは余りによる整数の分類一本で攻める. 完全に定型処理で特に方針として解説することもないのですぐに解答に進む. 定型処理だからといってなめてはいけない. 整数問題のアプローチの基礎だから, 完璧にしておくこと.

強いていうなら (2) で 4 で割った余りではなく 16 で割った余りを見るところが方針決定での大事なところだろう. 4 では $4m$ と $4m+2$ の場合が重なってしまって区別がつけられないからだ. 8 にするかとかいくつか次の手の打ち方を考える必要があるが, これも実験してみてうまくいく数を探すしかない. また $4m \pm 1$ というのをどうすれば思いつくのかとも思うだろうが, $4m$, $4m+1$, $4m+2$, $4m+3$ と余りを 0, 1, 2, 3 としておいて, $4m+3 = 4(m+1) -1$ と書き直しただけだ. これは 3 の余りでも 5 の余りでも同じ.

第 1 章 数と式, 論証 例題 4 早稲田大¶

問題 (早稲田大) \begin{exercise}[早稲田大] $n$ は 2 よりも大きい整数とし, $a_1, a_2, \cdots, a_n$ ; $b_1, b_2, \cdots, b_n$ は正の数で \begin{align} \sum_{i=1}^{n} a_n = \sum_{i=1}^{n} b_n, \quad \frac{b_1}{a_1} < \frac{b_2}{a_2} < \cdots \frac{b_n}{a_n} \label{univ-entrance-exam16} \end{align} をみたすものとする.

このとき, $0 < m < n$ であるすべての整数 $m$ に対して \begin{align} \sum_{i=1}^m a_i > \sum_{i=1}^m b_i \label{univ-entrance-exam14} \end{align} が成り立つことを証明せよ. \end{exercise}

ポイント これも実験してみるといい. 当たり前のことだが, 問題文にある正の数という条件, $n$ の条件, $a_j$ と $b_k$ が満たす条件・束縛条件をきちんと理解して使い切ることが大事だ. 証明が終わってみると自明としかいいようがなくなるのだが, それをいかにして示すかに苦心することになる. また, $b/a=d/c=f/e$ というように比が一定の数が出てくるとそれを共通の定数 $k$ としてみるという手法があるのだが, それのバージョンと思って式をいじってみられるかも勘所だ.

本にある別解のうち, 加比の理とあるのは他でも使えそうなので紹介しておきたい.

方針 本には解法が 3 つあげてあるが, ここでは 2 つだけ紹介する.

方針 1 (本の【解答 2】) まず一般性がありそうで他でも使いやすそうな方を紹介する. それは本で加比の理と呼ばれている. \begin{prop}[加比の理] $a$, $b$, $c$, $d > 0$ のとき $$\begin{array}{rrrr}& {\displaystyle \frac{b}{a}<\frac{d}{c}\Rightarrow \frac{b}{a}<\frac{b+d}{a+d}<\frac{d}{c}\mathrm{.}}& & \end{array}$$$$\begin{align} \frac{b}{a} < \frac{d}{c} \Rightarrow \frac{b}{a} < \frac{b+d}{a+d} <\frac{d}{c}. \end{align}$$ \end{prop} 証明は左 2 つ, 右 2 つで分母分子を払って計算すればいいだけだ.

この方針・解法に関して質問を頂いたので注意しておく. 具体的には【正しくは数学的帰納法で】とあるところで, 数学的帰納法の使い方がよくわからないとのことだった. 確かに少しわかりづらい気もするので補足する. わかりづらいのは仮定と示すべきことがはっきりしていないことによる. 示すべきなのは次の命題だ. \begin{prop}[一般化された加比の理] $a_1, a_2, \dots, a_n$, $b_1, b_2, \dots, b_n$ が全て正の実数で $$\begin{array}{rrrr}& {\displaystyle \frac{b_1}{a_1}<\frac{b_2}{a_2}<\cdots <\frac{b_n}{a_n}}& & \end{array}$$$$\begin{align} \frac{b_1}{a_1} < \frac{b_2}{a_2} < \cdots < \frac{b_n}{a_n} \end{align}$$ を満たすとする. このとき次の不等式が成立する. $$\begin{array}{rlrrrr}& {\displaystyle \frac{b_1}{a_1}}& {\displaystyle <\frac{\sum _{k=1}^m{b}_k}{\sum _{k=1}^m{a}_k}<\frac{b_m}{a_m},1<m\le n,\frac{b_1}{a_1}}& {\displaystyle <\frac{\sum _{k=1}^m{b}_k}{\sum _{k=1}^m{a}_k}<\frac{\sum _{k=1}^n{b}_k}{\sum _{k=1}^n{a}_k},1<m<n\mathrm{.}}& & \end{array}$$$$\begin{align} \frac{b_1}{a_1} &< \frac{\sum_{k=1}^{m} b_k}{\sum_{k=1}^{m} a_k} < \frac{b_{m}}{a_{m}}, \quad 1 < m \leq n, \ \frac{b_1}{a_1} &< \frac{\sum_{k=1}^{m} b_k}{\sum_{k=1}^{m} a_k} < \frac{\sum_{k=1}^{n} b_k}{\sum_{k=1}^{n} a_k}, \quad 1 < m < n. \end{align}$$ \end{prop} 問題の解答に必要なのは後者の式だ. 証明は本に書いてあることを素直に一般化しつつ直接計算するだけなので省略する. 数学的帰納法を使うまでもないとは思う.

方針 2 (本の【解法 1】) 次に本の【解法 1】を検討する. まず私がやってみた (間抜けな) 初手の実験を紹介しよう. 本当に問題の条件が成り立つかを知るために $n=3$ とし, そして計算が簡単になるよう $a_1 = a_2 = 1$, $b_1 = 1$, $b_2 = 2$ としてみた. 和が等しくなるように $a_3$ と $b_3$ を決めてみようと思ったのだが, そもそもここで頓挫した. それも当然で, 問題の条件下では式 (\ref{univ-entrance-exam14}) が 成立しなければいけないのに それを無視して $a_j$, $b_k$ を設定したからだ. また, 後づけの理由だが上の設定はきちんと解釈すれば「正しい実験」にもできた. 添字 (順番) を $1 \to 2$, $2 \to 3$, $3 \to 1$ とすれば 正しい順番にできるし, 証明すべき不等式も成立している. 1 つの実験だけで見抜けるものではないが, 上の入れ換えをした上で $b_1 / a_1 < 1 \leq b_2 / a_2 < b_3 / a_3$ が成立していることも注意しておこう. 実際示すべきはこの式だ.

うまくいかなかったので次の手を打ってみた. $b/a=d/c=f/e$ というように比が一定の数が出てくるとそれを共通の定数 $k$ としてみる手法が大学でもある. 今回は等号ではなく不等号だがバリエーションなので使えないかという発想に至った. これはいわゆるひらめきだが, その基礎には大学でも繰り返し使ってきた手法が基礎にあることに注意してほしい. 本当の無から作り出したわけではないのだ. 具体的にどうしたかというと次のようにした: $k_i = b_i/a_i$ としたのだ. こうしたからといって何か新しくわかったわけではないが, とりあえず条件を整理してみる. \begin{align} k_1 < k_2 < \cdots < k_n, \quad b_i = k_i a_i. \label{univ-entrance-exam15} \end{align} ここで後者を見た瞬間に $\sum_{i=1}^{n}a_i = \sum_{i=1}^{n} b_i$ に代入してみようと思った. 単に $b_i$ は $a_i$ の倍数と書いただけだが, これを見てすぐに次の発想が出てきたのだ. うまくいくかはともかく書き直してみよう. $$\begin{array}{rrrr}& {\displaystyle 0=\sum _{i=1}^n{a}_i-\sum _{i=1}^n{b}_i=\sum _{i=1}^n{a}_i-\sum _{i=1}^n{k}_i{a}_i=\sum _{i=1}^n(1-k_i)a_i\mathrm{.}}& & \end{array}$$$$\begin{align} 0 = \sum_{i=1}^{n} a_i - \sum_{i=1}^n b_i = \sum_{i=1}^{n} a_i - \sum_{i=1}^n k_i a_i = \sum_{i=1}^n (1 - k_i) a_i. \end{align}$$ そしてこの瞬間, 終わったと思った. この問題が自明になった瞬間と言える.

なぜ自明かを説明しよう. $a_i$ は正だったから上の和が 0 になる可能性は 2 つある. 1 つは全ての $k_i$ が 0 になることだが (\ref{univ-entrance-exam15}) からそれはない. したがってもう 1 つの可能性しかない. それは $1 - k_i$ が正になったり負になったりすることで調整している可能性だ. 特に (\ref{univ-entrance-exam15}) から, 適当な $0 < n_0 < n$ があって, それを境に $1 - k_i$ の符号が反転する. 特に $m \leq n_0$ の場合を考えると $1 - k_m \leq 0$, つまり $a_m > b_m$ となるから $$\begin{array}{rrrr}& {\displaystyle \sum _{i=1}^m{a}_i>\sum _{i=1}^m{b}_i}& & \end{array}$$$$\begin{align} \sum_{i=1}^{m} a_i > \sum_{i=1}^{m} b_i \end{align}$$ となる.

$n_0 < m < n$ のときは 1 つステップを踏む必要がある. $a < b$, $c < d$ なら $a+c < b+d$ だが, 今は $a < b$, $c > d$ で $a+c < b+d$ が言えるかが問題だからだ. 当然一般には言えないが, 問題文をきちんと読めば問題の条件下では成立しているのがわかる. 式 (\ref{univ-entrance-exam16}) があるので, $n$ まで全て足してはじめて和がイコールになるので, $m$ までの部分和で不等号がひっくり返ることはない. このような文章を書くだけでも正解にしてもらえるだろう. 解答ではこれを式を使ってきちんと説明してみる. 厳密な証明をつけるいい練習になるだろう.

最後に一言いうと, 問題で示すように言われているのは $\sum_{i=1}^{m} a_i > \sum_{i=1}^{m} b_i$ だが 勘所はある $1 < n_0 < n$ が存在して $b_{n_0}/a_{n_0} \leq 1$ となることだった. きちんと証明していないがおそらくこの 2 つは同値だ. 受験勉強をはじめたばかりのときは浅く広く暗記中心で早くから種をたくさん蒔いていくことが必要だが, 少しずつ深く高く種を育て芽を出させる必要がある. その深く高く育てるところためにこのような突っ込んだ考察が欠かせない. 少しずつでいいから, 自分でも考えを深めていってほしい.

第 2 章 関数と方程式・不等式 例題 5¶

問題 1¶

\begin{exercise}[東海大]\label{univ-entrance-exam40} 2 次方程式 $$\begin{array}{rrrr}& {\displaystyle x^2+mx-12=0}& & \end{array}$$$$\begin{align} x^2 + mx - 12 = 0 \end{align}$$ の 2 解がともに有理数となるような自然数 $m$ の値を求めよ. \end{exercise}

問題 1 ポイント 解に関する話で 2 次方程式なのだから解の公式がまずポイントだ. 何度となく強調しているように, 試行錯誤, 実験も大事なのできちんと身につけてほしい. ある整数が 2 乗の形になるかならないかを調べる問題は時々出てくるので, そのための処方箋もきちんと覚えて道具箱に入れておく必要がある. 有理数は整数/整数という形だからどこかしらで整数が絡んでくる. 整数に関する基礎知識もきちんと整理しておく必要がある. 解に有理数という条件があってその上で係数を決定する問題だから, 解と係数の関係を使うことも考えよう. もちろん係数にも自然数という条件がある. 単に整数ではなく自然数 (正の整数) というところでさらに絞り込みがかかる.

また, 一般に代数方程式が有理数解を持つとき, その有理数解が整数解になることがある. それは定理として明確な形で証明できる. そして今回, 実際に有理数解は (2 解とも) 整数解になる. 整数は有理数以上に厳しい制限がかかるから, それをうまく使えないか考えてみるのも大事だろう. 例えば和と積が両方偶数になる 2 数は両方とも偶数になる. これは問題 \ref{univ-entrance-exam13} でも出てきた「あまりに着目」する手法で考えていくと簡単に証明できる. 命題としてまとめておこう. \begin{prop}\label{univ-entrance-exam18} $f(x) = \sum_{k=0}^n a_k x^k$ は整数係数の多項式とする. 代数方程式 $f(x) = 0$ が $p$, $q$ を互いに素な整数として有理数解 $q/p$ を持つなら, $p$ は最高次の係数の約数であり $q$ は定数項の約数である. \end{prop} \begin{proof} $f(q/p) = 0$ だから $$\begin{align} 0 = \sum_{k=0}^n a_k \rbk{\frac{q}{p}}^k = a_n \rbk{\frac{q}{p}}^n + \sum_{k=0}^{n-1} a_k \rbk{\frac{q}{p}}^k. \end{align}$$ 辺々 $p^{n}$ をかけると $$\begin{array}{rrrr}& {\displaystyle a_n{q}^n=-p\sum _{k=0}^{n-1}{a}_k{q}^k{p}^{n-k}}& & \end{array}$$$$\begin{align} a_n q^{n} = - p \sum_{k=0}^{n-1} a_k q^k p^{n-k} \end{align}$$ $p$ のべきを見ると右辺は整数だから左辺も整数でなければならない. $p$ と $q$ は互いに素だったから $a_n$ は $p$ の倍数でなければならず, $p$ から見れば $p$ は $a_n$ の約数になる. 一方, 辺々に $p^{n}$ をかけた式は次のようにも書ける. $$\begin{array}{rrrr}& {\displaystyle a_0{p}^n=-q\sum _{k=1}^n{a}_k{q}^{k-1}{p}^{n-k}\mathrm{.}}& & \end{array}$$$$\begin{align} a_0 p^n = - q \sum_{k=1}^n a_k q^{k-1} p^{n-k}. \end{align}$$ 右辺は整数で $p$ と $q$ は互いに素だから $q$ は $a_0$ の約数でなければいけない. \end{proof} \begin{prop}\label{univ-entrance-exam17} $a$, $b$ を整数とする. $a+b$, $ab$ が両方偶数になるなら $a$ も $b$ も偶数になる. \end{prop} \begin{proof} 対偶を見ればいい. $a$ か $b$ のどちらかが奇数とすると $a+b = 2(l+m) + 1$ となって和が奇数になってしまう. 両方とも奇数なら積が奇数になる. \end{proof}

また数学は「---が存在しない」ことをきちんと示せるという特徴がある. 他の学問だと虱つぶしに全て調べきることが原理的にできない (場合が大半な) ので, 「これ以外にない」というのはなかなか言えない. 例えば物理で「そんなことはありえない」と言っても実験的に実現できてしまったら終わりだ. この問題では実際に「実験して出した答え以外に解がない」ことを証明する必要がある. そこでこの辺の認識があるかどうかが問われるのだ. それをきちんと示せてしまう分, 本当にきちんとそれを証明しないといけないから.

問題 1 方針

方針 1 あとで別解も紹介するが, 2 次方程式なので解の公式があり, 実数か有理数をわける分水嶺として根号部分があるから, そこに着目するのが一番素直な方針だろう. というわけでまずは解の公式に叩き込む. $$\begin{array}{rrrr}& {\displaystyle x=\frac{-m\pm \sqrt{m^2+48}}{2}\mathrm{.}}& & \end{array}$$$$\begin{align} x = \frac{-m \pm \sqrt{m^2 + 48}}{2}. \end{align}$$ いまの場合 $g(m) = \sqrt{m^2 + 48}$ が整数になっていてくれればいい. 何度も言っているが, 無理に一般的にやっていこうとする前にまずは実験してみよう. $m=1$, $m=4$ のとき, $g(1) = 7$, $g(4) = 8$ になるから, 少なくともこの 2 解はある. 実験を頑張った人は $m=11$ まで見つけられるだろう. 判別式で見ずに元の方程式 $x^2 +mx -12 = 0$ から直接考えた方が見やすいかもしれない. 問題はこれ以外に解があるかどうかだ. さすがにこれは一般的に示さないといけない. これも何度も言っているがここまで書いて「少なくとも $m=1$, $4$ は解になる. 他の解があるか, またはそれに限るかを調べる. 」とか書いておけば部分点が来る. 地道にこういう習慣もつけていこう.

実験の習慣があればここまでは来られるはずだ. 何も知らなければ次のアクションをどうすればいいかで手が止まるだろう. ここもやはり基本的な手法を覚えているかどうかで決まる. 具体的には次のようにすればいい: $l$ を自然数として $m^2 + 48 = l^2$ とする. もっと自然な流れはこれだ: $\sqrt{m^2 + 48}$ が整数でなければいけないのだからまず整数 $l$ を使って $\sqrt{m + 48} = l$ としてみる. 最終的に消さないといけないパラメータを増やすことになるのでかなり嫌な選択肢ではあるが仕方ない. ここでまた手が止まるだろう. このままでは手の打ちようがない. そこで 2 乗を計算してみられるかが勝負だ. つまりここまでパラメータを増やして「ルートは整数であるべき」という要請を具体的に式に落とし込めるか, そのままでは手の打ちようがないから次の手が打てるように 2 乗してみられるか, という 2 つのポイントを乗り越えられるかが勝負になる. さらに計算すると $$\begin{array}{rrrr}& {\displaystyle l^2-m^2=48\Rightarrow (l+m)(l-m)=2^4\cdot 3.}& & \end{array}$$$$\begin{align} l^2 - m^2 = 48 \Rightarrow (l+m)(l-m) = 2^4 \cdot 3. \end{align}$$ ここまで来れば最後の詰めだ. 左辺は 2 整数の積, 右辺は素因数分解された形なので適当に素因数分解していけばいい.

何をしたか, 式の形で流れを整理しよう. $$\begin{array}{rlrllll}& {\displaystyle l}& {\displaystyle =\sqrt{m^2+48}{l}^2}& {\displaystyle =m^2+48(l+m)(l-m)}& {\displaystyle =2^4\cdot 3.}& & \end{array}$$$$\begin{align} l &= \sqrt{m^2 + 48} \ l^2 &= m^2 + 48 \ (l+m)(l-m) &= 2^4 \cdot 3. \end{align}$$ 式で書けばそれぞれ 1 行だが各ステップ全てが勝負所になっている. 知っていれば何ということはないが, 何も知らずに試験会場で思いつけるかと言われるとこれはつらい. $(l+m)(l-m) = 2^4 \cdot 3$ から左辺の 2 整数に因数をふりわけるラストステップも, 普通の精神状態ではない試験本番できちんとそこまで辿り着けるかと言われると相当きつい. 呼吸するように自然に動けるよう思考が流れるように, 繰り返し復習して完璧に身につけなければいけない.

それでは最終ステップだ. 整数に関する基本定理, 素因数分解をきちんと使えるかが大事になる. $m$ は自然数なので $l+m > l-m$ だからこれに注意すれば素因数分解の組も決まる. 実際には事前にもっと絞り込める. 具体的には $(l+m) - (l-m) = 2m$ に注意する. 命題 \ref{univ-entrance-exam17} から $l+m$, $l-m$ は両方とも偶数になる. つまり $l+m$, $l-m$ ともに 3 だけを因数にすることはない. この条件下で素因数分解のペアを考えていけばいい. 表にするとわかりやすいだろう.

方針 2 命題 \ref{univ-entrance-exam18} を使って有理数解が整数解になると言ってしまってもいいが, ここでは直接見てみよう. 別解は解を有理数と仮定してから絞り込みをかける. これも有理数ならどうなるか, どんな性質を持つべきなのかを実験しているといってもいい. $p$, $q$ を互いに素な整数で $p>0$ としておく. $q/p$ を $f(x) = 0$ の有理数解とすると $$\begin{align} \rbk{\frac{q}{p}}^2 + m \rbk{\frac{q}{p}} - 12 = 0 \Rightarrow q^2 = p(12p - mq). \end{align}$$ $p$, $q$ は互いに素だから $p=1$ となるしかない. つまり $f(x) = 0$ の 2 解は整数になる. また解と係数の関係から 2 解の積は $-12$ になる. 2 解を $\alpha$, $\beta$ とすると, 再び解と係数の関係から $m$ は $- (\alpha + \beta)$ になる. $\alpha \beta = -12$ となるペアの中から $m$ が自然数になるペアだけ選べばそれが解だ.

問題 2¶

\begin{exercise}[防衛大]\label{univ-entrance-exam41} 実数係数の 3 次方程式 $$\begin{array}{rrrr}& {\displaystyle 2x^3-3a{x}^2+2(a+7)x+a^2-9a+8=0}& & \end{array}$$$$\begin{align} 2 x^3 - 3ax^2 + 2(a+7) x + a^2 -9a + 8 = 0 \end{align}$$ の解が全て自然数であるとき, $a$ の値と 3 解を求めよ. \end{exercise}

問題 2 ポイント ここも解が全て自然数というところからいろいろなことが決まる. 解の条件があって係数 (と解) を決めろと言っているので解と係数の関係が主戦場になる. もっともらしく実数係数と言っているが $a$ が本当に純粋な実数になることはないだろう (整数か自然数になるだろう), と予想できるかもかなり効いてくる. うまく適当な難易度にするため, 解けるようにするためもあるが, 式の見た目はごついので, それに惑わされないようにする必要もある. 定数項が特にごついが, 何かいわくありそうと思える反射神経がほしい.

少し話がずれるが, 解が自然数というだけからこの面倒そうな 3 次方程式のパラメータ, $a$ の値と 3 解が決まってしまうことに驚くような感性がある人は数学がよくできる人だろう. ここでの「よくできる」は今の偏差値とか成績とかそういう話ではなくて, 数学的に豊かな感受性があるかどうかという話だ. 問題の見た目のごつさに惑わされず, そういう視点を持てた人は自分の数学的感性に自信を持っていい. 数学科志望で「そんなことまで感じられなかった」という人がいるかもしれないが, 落ち込む必要はない. そういう感性をゆっくり育てていってほしい. あとあと, 本当に決定的に効いてくる. 受験勉強の中でもこうした感性を磨いていこう.

問題 2 方針 ポイントでも書いたように 3 次方程式の解と係数の関係を調べにいくのが基本だ. 3 解を $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ で $\alpha \leq \beta \leq \gamma$ とする. 解に順序をつけたのはいわゆる「こうしても一般性を失わない」というやつだ[^univ-entrance-exam19]. 解と係数の関係から \begin{align} \alpha + \beta + \gamma &= \frac{3}{2} a, \label{univ-entrance-exam20} \ \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha &= a + 7, \label{univ-entrance-exam21} \ \alpha \beta \gamma &= - \frac{1}{2} (a^2 - 9a + 8) \label{univ-entrance-exam22}. \end{align} 解と係数の関係を使えばここまでは来れる. 次はこの式をどう読むかだ[^univ-entrance-exam23]. まず最初の式から $a$ は偶数でなければならない. これだけで既に整数どころか偶数としての絞り込みが入った. この時点で整数に関する知識をきちんと頭にロードしておこう. 他をどうするかと思っても最後の式からは整数となることしか読み取れない. 「試験問題だし絞り込むための条件がどこかにあるはずだ」と思ってみたり, あからさまにごつい定数項は何だと思ってみてもいいが, とりあえず最後の式からも条件を引き摺り出せないか考えてみよう. 左辺の積が自然数だから右辺も自然数, 特に正の数である必要がある. 2 次間数になっているから実際にグラフを描けばよくて, やってみると $1 < a < 8$ とわかる. この中で偶数だから $a = 2$, $4$, $6$ まで絞り込める. ちなみにここは因数分解もできて $a^2 -9a +8 = (a-1)(a-8)$ だ. どちらが見やすいかは人によるだろうが, こうしておくと私にはあからさまに整数に関する条件に思える. こういうのを見ると問題 \ref{univ-entrance-exam9} のポイントで「はじめから因数分解してくれているのもポイント」と書いたが, ここでその意味もわかってもらえるだろう. 漠然と 2 次関数で書かれているよりも因数分解されている方が整数らしい感じがある.

univ-entrance-exam19: 定石だし, 考えていく上で楽にもなるので必ず身につけておくこと.

univ-entrance-exam23: 式から情報を読み取る技術は例えば物理で役に立つ. もっと言うなら式と現象と頭のイメージを一致させていかないと物理にならない.

第 2 章 関数と方程式・不等式 例題 6¶

問題 \begin{exercise}[埼玉大]\label{univ-entrance-exam27} 正の実数 $x$, $y$ が $x^2 - 2x + 4y^2 = 0$ をみたしながら変わるとき, $xy$ の最大値を求めよ. \end{exercise}

ポイント 適当な拘束条件下での最大最小問題だ[^univ-entrance-exam28]. 最大・最小問題なのでまず微分が使えないかという発想が出てくるだろうが, 見た目は $x$, $y$ の 2 変数があって高校範囲の 1 変数の微分の枠からはみ出るから, 何とか 1 変数に叩き落とす必要がある. ここを乗り越えられるかが第一のポイントだ. その他, 最大値だけ出せばいいので不等式とその等号成立条件を調べる方針もある. さらに純粋に式の処理と思ってもいいし, 幾何学的に見る視点も大事で, それも別解として使える.

あと, そこまでわからなくてもいいのだが, この問題では $x$, $y$ が正という条件はなくても最大値は出せる.

univ-entrance-exam28: 実用的にも大事だ. 微分方程式の数値計算・シミュレーションやその他いろいろな数値計算で, 実際に何百どころか何億という連立一次方程式が出てくる.

方針

方針 1 方針はいくつかあるが, まずは私がはじめに考えたことを説明しよう. $xy$ の最大値を見たいのだから具体的に $xy = k$ としてみる. これは小学校以来の双曲線の方程式だ. そして $x^2 -2x + 4y^2 = 0$ は楕円の方程式なので, これは双曲線と楕円が交点を持つ最大の $k$ を求める問題になる. $y = k/x$ として楕円の方程式に代入しよう. $$\begin{array}{rrrr}& {\displaystyle 0=x^2-2x+4\frac{k^2}{x^2}\Rightarrow x^4-2x^3+4k^2=0.}& & \end{array}$$$$\begin{align} 0 = x^2 - 2x + 4 \frac{k^2}{x^2} \Rightarrow x^4 - 2x^3 + 4k^2 = 0. \end{align}$$ つまり $x^4 - 2x^3 + 4k^2 = 0$ が解を持つような $k$ の最大値を調べればいい. ただし上の式が解を持つ $k$ の最大値を調べようと思うとちょっと苦しくなる. そこでさらに $x^4 - 2x^3$ が最小値を持って, その最小値がそれがぎりぎり $4k^2$ になる $k$ の値を見よう, と視点を変えてみる. ここが結構大事なところで, この読み替えができると計算が楽になるしミスも減る. これで問題は $f(x) = x^4 - 2x^3$ の最大最小問題に帰着した. ただし元が楕円の方程式から来ているから $x$ は $0 < x < 2$ の条件が入っていることに注意する. きちんと 1 変数の微分の問題に落ちていることも確認しておこう.

これをもっとダイレクトにやると本 \cite{KazuhiroMitsuya1} の【解答 2】になる. 条件式から $0 < 4y^2 = -x^2 + 2x$ であり $0 < x < 2$. $xy$ は正だから $$\begin{array}{rrrr}& {\displaystyle xy=\sqrt{x^2{y}^2}=\sqrt{x^2\frac{-x^2+2x}{4}}=\frac{1}{4}\sqrt{-x^4+2x^3}\mathrm{.}}& & \end{array}$$$$\begin{align} xy = \sqrt{x^2 y^2} = \sqrt{x^2 \frac{-x^2 + 2x}{4}} = \frac{1}{4}\sqrt{-x^4 + 2x^3}. \end{align}$$ だから $f(x) = -x^4 + 2x^3$ を $0 < x < 2$ の範囲で最大化すればいい. この区間で最小値を取ってくれるならそれでいいが, そうならない場合は端点の情報を調べる必要もある. これはシンプルだからあまり困らないものの 4 次関数ではあるから割と面倒になる可能性もある. きちんと追い切れる計算力をつけないといけない.

方針 2 次はちょっと豪快に相加相乗平均の不等式を使う. 1 点ちょっとした閃きというか洞察が必要なところがあって, わりと難しいが覚えておくべき技術とも言えるから紹介したい. 楕円だからというところから決めてもいいが, まず $x$ の変域を調べよう. $0 < 4y^2 = -x^2 + 2x$ だから $0 < x < 2$. また $xy$ が正ということもあり, $xy$ の最小値と $x^2 y^2$ の最小値は 1:1 に対応する. そこで $x^2 y^2$ を計算する: これは $y^2 = (-x^2 + 2x)/4$ を使えるからだ. $$\begin{array}{rrrr}& {\displaystyle x^2{y}^2=\frac{1}{4}{x}^2(-x^2+2x)=-\frac{1}{4}\frac{1}{3}x\cdot x\cdot x\cdot (6-3x)\mathrm{.}}& & \end{array}$$$$\begin{align} x^2 y^2 = \frac{1}{4} x^2 (-x^2 + 2x) = - \frac{1}{4} \frac{1}{3} x \cdot x \cdot x \cdot (6 - 3x). \end{align}$$ ここで $1/3$ を挿入しているのは次の相加相乗平均を使う準備だ. さらっと書いたが, 相加相乗平均を使いたいならこれに気付く必要があるし, そもそも $x^3$ を $x \cdot x \cdot x$ と分解できるかも大事だ: これはなかなか思いつかないだろうから, やはり少なくとも 1 度は経験しているかどうか, 知っているかどうかが勝負を分ける. ここでもきちんと 1 変数の問題に落ちていることを確認しておこう. 4 変数の相加相乗平均の不等式から $$\begin{array}{rrrr}& {\displaystyle \sqrt[n]{x\cdot x\cdot x\cdot (6-3x)}\le \frac{x+x+x+(6-3x)}{4}=\frac{3}{2}\mathrm{.}}& & \end{array}$$$$\begin{align} \sqrt[n]{x \cdot x \cdot x \cdot (6 - 3x)} \leq \frac{x + x + x + (6-3x)}{4} = \frac{3}{2}. \end{align}$$ 等号成立条件は 4 つの変数が全て一致するときで, 結局 $x = 6 - 3x$. あとはこれを解いて $0 < x < 2$ であることを確認すればいい. この最後の確認がないと減点されるかもしれないので注意しよう. もっと言うなら, チェックする習慣がついていないと, 他の問題を解いているときに条件見落としで本当に不適なものを解答に含めてしまう可能性がある.

方針 3 焦って見抜けないと悲惨ではあるが, 条件式は楕円の方程式とわかっているのでそれを直接使う解法もある. 楕円のパラメータ表示を使えばいいのだ. $x - 1 = \cos \theta$, $y = \frac{1}{2} \sin \theta$ とする. $x$ も $y$ も正なので $0 < \theta < \pi$ という条件がつくことに注意しよう. ここでもきちんと 1 変数の問題に落ちていることも確認しておく. こうなると $xy = (1 + \cos \theta) \sin \theta / 2 = f(\theta)$ になるから, 単純な $f (\theta)$ の最大最小問題になる. やはり微分が一番てっとりばやいだろう.

第 2 章 関数と方程式・不等式 例題 7¶

問題 \begin{exercise}[高知大]\label{univ-entrance-exam29} 任意の正の数 $a$, $b$ に対して, つねに \begin{align} \sqrt{a} + \sqrt{b} = k \sqrt{a + b} \label{univ-entrance-exam30} \end{align} が成り立つような実数 $k$ の最小値を求めよ. \end{exercise}

ポイント あまり難しくない問題だが, 色々な解法があるのでそれをさらっと復習するのに非常に使える. いくつかの解法の共通点を挙げると, $a$, $b$ と 2 つあるパラメータを 1 つに落とすところがポイントで, 問題 \ref{univ-entrance-exam27} と同じ手法が使える. ここでも手法として実験が使えることを指摘しておこう. 整数問題でもよく「必要条件から絞り込む」という手法が紹介されるが, それと同じことだ.

またこの手の問題は大学, もっというなら研究でよく出てくる. 不等式の最良定数を求める一連の問題があって, そういう論文もたくさんある. 等号成立条件も大事で, それを調べるだけでも長い議論が必要になることも多いし, 実際論文にもなっている. 応用上も大事で, 例えば数値計算をするとき, その手法 (アルゴリズム) が正当かどうか, 特に収束するかどうかを判定するのに途中で使う不等式の全てで最良評価をしていく判定法がある. こういうときに 1 つ 1 つの不等式の最良定数がないと困る事情がある.

方針 あまり方針としていうことはない. 次の方法が身についているかを確認してほしい.

• 相加相乗平均の不等式.
• 三角関数の利用.
• 微分の利用.
• 凸関数の利用.
• ベクトルの内積の利用.
• 必要条件からの絞り込み.

最大最小問題なら微分に叩き落とせないかを考えるのは自然だろうから, 私は微分が 1 番汎用的な解答で, 1 番素直なのは相加相乗平均だろうと思う.

三角関数, 微分, ベクトルの内積利用ではパラメータを 1 つに減らして調べるという共通点がある. 三角関数では $a$, $b$ というパラメータを $\theta$ 1 つに, 微分では $b/a = x > 0$ としてパラメータを $x$ 1 つに, ベクトルでは $\vec{y} = (\sqrt{a}, \sqrt{b})$ としてパラメータを $\vec{y}$ 1 つに落とし込む. 特に微分では式が $1/2$ 乗の同次式であることに注意しよう. このおかげで 1 変数の問題に落としこめるのだ.

また凸関数の定義も一応注意しておこう. 高校だと 2 階微分の符号を見るのが一般的だろうが, 正式な定義は次のようになる. \begin{defn}[凸関数] 関数 $f$ が次の条件を満たすとき $f$ を下に凸な関数と呼ぶ: $0 \leq t \leq 1$ に対して $$\begin{align} f \rbk{t a + (1-t) b} \leq t f(a) + (1-t) f(b). \end{align}$$ 関数 $f$ が次の条件を満たすとき $f$ を上にに凸な関数と呼ぶ: $0 \leq t \leq 1$ に対して $$\begin{align} t f(a) + (1-t) f(b). \leq f \rbk{t a + (1-t) b} \end{align}$$ \end{defn} 図を見ながら式を書けばいいだけなので別に難しいことはない. これで覚えておくと, 単に凸という形と微分の結びつきを知るだけではなく, 凸関数を使った不等式が使えるようになるから扱える手法が増える.

ここで話しきれるような話題ではないが, 物理での応用, 特に平衡熱力学では凸関数が大事な役割を果たす. そのときには凸関数が連続だが必ずしも微分可能ではないこともいろいろな形で効いてくる.

第 3 章 平面・空間図形 例題 8¶

問題 1¶

\begin{exercise}\label{univ-entrance-exam156} 三角形 $\mathrm{ABC}$ の内部の 1 点を $\mathrm{O}$ とし, $\mathrm{OA}$, $\mathrm{OB}$, $\mathrm{OC}$ の延長がそれぞれ辺 $\mathrm{BC}$, $\mathrm{CA}$, $\mathrm{AB}$ と交わる点を順に $\mathrm{D}$, $\mathrm{E}$, $\mathrm{F}$ とするとき, $$\begin{array}{rrrr}& {\displaystyle \frac{\mathrm{O}\mathrm{D}}{\mathrm{A}\mathrm{D}}+\frac{\mathrm{O}\mathrm{E}}{\mathrm{B}\mathrm{E}}+\frac{\mathrm{O}\mathrm{F}}{\mathrm{C}\mathrm{F}}=1}& & \end{array}$$$$\begin{align} \frac{\mathrm{OD}}{\mathrm{AD}} + \frac{\mathrm{OE}}{\mathrm{BE}} + \frac{\mathrm{OF}}{\mathrm{CF}} = 1 \end{align}$$ が成り立つことを証明せよ. \end{exercise}