部分集合の連結性の定義は割と面倒である¶
魔法少女に教えてもらったので.
ニャオン> 部分集合 A⊆X に関する性質 "互いに交わらない開集合 U, V があって A⊆U∪V, A∩U≠∅, A∩V≠∅" の名前は？
— 🌔 (@functional_yy) 2017年1月18日
Google> 知らん
ニャオン> 😇
これ https://t.co/CsxkaTq5QW本当に誰も名前つけてないんですか
— 🌔 (@functional_yy) 2017年1月18日
@functional_yy（部分空間として）非連結と同値ではないかと思います
— atsushi yamashita (@yamyam_topo) 2017年1月18日
@yamyam_topo3 上の位相 {0, {2}, {0, 2}, {1, 2}, 3} を考えると, 2 は 2∩{0,2} と 2∩{1,2} に分かれるので非連結ですが, 互いに交わらない開集合対が (0, 3) しかないので""内は不成立です.
— 🌔 (@functional_yy) 2017年1月18日
@functional_yyそうですね。勘違いしていたようです。たぶん正規性のもとでしか成り立たない推論を勝手にしていました。
— atsushi yamashita (@yamyam_topo) 2017年1月18日
これで調べていてわかったことは結構な数の位相の講義ノートで, 部分集合の連結性にさっき書いた定義が書かれている
— 🌔 (@functional_yy) 2017年1月18日
@functional_yy最近基本的な概念の定義が怪しくて本当にアレでつらいのですが、部分集合の連結性はどう定義するべきアレなのでしょうか
— 相転移P (@phasetr) 2017年1月19日
@phasetr(i) A に部分位相を入れたときに連結 (ii) 次のような X の開集合 U, V は存在しない: A⊆U∪V, A∩U≠∅, A∩V≠∅, A∩U∩V=∅ (つまり U, V は A 内で交わってはいけないが A 外では交わっていてもよい).
— 🌔 (@functional_yy) 2017年1月19日
@phasetr(iii) 次のような X の空でない部分集合 B, C は存在しない: A=B∪C, B∩cl(C)=cl(B)∩C=∅. なお ∅ は非連結と見做す流儀もある.
— 🌔 (@functional_yy) 2017年1月19日
こういうのが甘いの, 本当によくない. 反省することばかりだ.