数理論理での命題の定義¶
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数理論理(?)で命題はどう定義されているのだろうか. 命題論理というときの命題の定義. 手元にある菊池誠「不完全性定理」を見たら, 「真偽が確定し得る数学的な主張」とあるのだが, これだけだと「し得る」がよくわからないのと, 索引に命題変数だとか関連用語はあってもそのものずばりがないようで, 探し方さえよくわからない. きちんとした本一冊買った方がいいと思うのだが何を買うか.
コメント¶
それは命題という言葉の数学内での使われ方であって数学的定義ではない. 数学と物理の関係でいうところの物理現象の側であって数理モデルの側ではない. これからそのような「命題」というものを数理モデル化して数学的に研究していくということを言っているだけです. 数理モデル化されたものは大体次のような感じで定義される.
(命題論理の場合)記号からなる可算集合(多変数多項式環でいうところの不定元の集合)$P$を固定する. $P$の元を命題変数と呼ぶ. $P$の元から始めて$\phi \land \psi$, $\phi \lor \psi$, $\lnot \phi$などの構成を繰り返して得られる文字列を様相命題論理式と呼ぶ.
物体の位置や運動という物理的な対象を数理モデル化したものとして座標や微分方程式といった数学的概念が得られるように, 数学の命題や証明といったものを数理モデル化したものが論理式や証明図という概念です. その教科書の定義もどきは数理モデル化する前の対象について語っている.