単連結と連結について間抜けなことを呟いていたらいろいろ教えて頂いたので¶

本文¶

幾何弱者過ぎて連結だが単連結でない例がすぐ思いつけなかった

@phasetr 単連結なら連結とか言える? すぐに分からないとか弱者過ぎて死にたい

@phasetr ちょっと何か勉強すると基礎部分がザルなことが即分かり涙を禁じ得ない

@phasetr 単連結の定義ご存じですか?

@eszett66 「基本群が自明」

@phasetr http://en.wikipedia.org/wiki/Simply_connected_space 曲面だと単連結と「連結でかつ種数 0」が同値だから, やはり一般で反例つくれるはずだ

@phasetr 基本群っていうのは基点を決めないといけないんですけど, あなたの定義では基点はどこに取ってるんですか? もしかして「各弧状連結成分の $\pi_1$ が自明」の間違いですか?

@eszett66 その辺を雑に考えて混乱していますね. ありがとうございます. 今読んでいる本, はじめから空間が連結であることを仮定していて, その上での定義をしていてその辺も見落としていました

@phasetr だと思いました. 「基本群が自明」というのはフレーズとしては覚えやすいんですが, そればっかりだと危ないですね.

鍵アカウントからの情報¶

慣れない分野ほど, 定義はきちんと一句一語のレベルで確認しなければいけないという教訓を得た. ちなみに, 鍵アカウントの方から次のような情報を頂いた.

単連結であって連結でない例として $S^2$ を二つ並べた集合がある.

通常の幾何学の分野では単連結の定義に連結を仮定するが, Lie 群界隈では $O (n)$ のような非連結な対象にも普遍被覆を考えるので, 単連結の定義から連結を外すことが多い. どちらの場合でも 1-連結と言えば連結かつ単連結を指す.

非常に助かる.

ラベル¶

数学, 幾何学, Lie 群, 位相空間論