覚書: Cantor集合が連続体濃度である証明¶

本文¶

色々あってこの間Cantor集合が話題になった. 連続体濃度を持つというのは知っていたし 三進展開を使うとうまくいく的なことも知ってはいたが, 証明をきちんと追ったことがなかった. いい機会なので証明を記録しておきたい. 参考PDFをもとに証明を書いておこう.

まずCantor集合を定義しておく. $I = [0, 1]$ としよう. ここから開区間 $I_n$ をがんがん抜いていって作る集合がCantor集合だ. この $I_n$ を定義していく.

$I_1$ は $I$ を 3 等分したときの真ん中の (開) 区間 $I_1 = (1/3, 2/3)$ だ. $I_2$ は $I \setminus I_1$ の 2 つの区間をそれぞれ 3 等分した集合の真ん中の区間の合併となる. つまり $I_2 = (1/3^2, 2/3^2) \cup (7/3^2, 8/3^2)$ だ. これを無限回繰り返すと Cantor 集合 $C$ になる. つまり $C = I \setminus \cup_n I_n$ だ.

性質のその 1: $C$ の Lebesgue 測度は $0$ になる

$[0, 1] \setminus C = \cup_n I_n$ の測度が 1 であることを示せばいい. $\left| I_n \right| = (1/3) (2/3)^n$ で $I_n$ が互いに素なので, これを素直に足し上げて $\left| I_n \right| = 1$ で終わり.

性質その 2: Cantor 集合は閉で nowhere dense.

nowhere dense の定義は $\mathrm{Int} \, \overline (C) = \emptyset$. では証明.

$C$ が閉なのは自明. $C$ が Lebesgue 測度 0 なので, $C$ は測度正の (開) 区間を含まない. したがって $C$ は nowhere dense.

性質その 3: Cantor 集合は非可算集合.

全射 $f \colon C \to [0, 1]$ を作る. $x \in [0, 1]$ を 3 進展開する. これに合わせて $1/3 = 0.1$, $2/3 = 0.2$ と書く. 最初に除いた集合 $I_1$ は $0.1$ と $0.2$ の間にある. これを繰り返すと $C$ に現れる数を 3 進展開したときに 1 は決して出てこないことが分かる.

全射を実際に構成しよう. $x \in C$ とし, これを 3 進展開したときの 2 を全て $1$ に変え, それを 2 進展開に読み替える写像を $f$ とすればいい. 全射性は自明.

ラベル¶

数学, 集合論, 位相空間論