Hahn-Banach を使った Markov-Kakutani の不動点定理の簡単な証明¶

本文¶

チャーハニスト鈴木と次のようなやりとりをしたのでその記録をしておきたい.

あそうだ, セミナーのノート整理してて思い出した. 【ゆるぼ】 Markov-Kakutani の不動点定理の主張が書いてある pdf (和洋文問わず)

@mszk_p きちんと読んでおらずさっと見つけただけですが http://page.mi.fu-berlin.de/werner99/preprints/markkaku.pdf などはどうでしょうか. ちなみに filetype:pdf として検索すると pdf だけ引っかかるようになります

@phasetr そのオプション知りませんでした. どうもありがとうございます.

PDF は Dirk Werner による『A proof of the Markov-Kakutani fixed point theorem via the Hahn-Banach theorem』というタイトルの文章だ. 2 ページしかなく難しくもないので興味がある向きは読んでみてほしい. 定理も引用しておこう.

引用¶

Theorem¶

Let $K$ be a compact convex set in a locally convex Hausdorff space $E$. Then every commuting family $(T_i)_{i \in I}$ of continuous affine endomorphisms on $K$ has a common fixed point.

次の補題を挟んで証明する. この補題を Hahn-Banach を使って鮮やかに示すというのがポイントだ.

Lemma¶

Let $K$ be a compact convex set in a locally convex Hausdorff space $E$, and let $T \colon K \to K$ be a continuous affine transformation. Then $T$ has a fixed point.

不動点定理, 楽しい.

ラベル¶

数学, 解析学, 不動点定理