Twitter まとめ: 解析力学, 電磁気学, 相対論と幾何学の関係などを簡単にまとめてみた¶

はじめに¶

ぼんてんぴょんさんと力学, 解析力学まわりで少し話をした. 参考になる向きもあろうかと思うのでまとめておく. この辺からはじまる.

応答その1¶

ふと思いついたが, 剛体を考えるとき, 質量のあるところだけに質点があるのでなく, 剛体の外側にも質量ゼロの質点が (空間全体に) 分布していて, これらが剛体との位置関係を保ちながら動くと考えれば, 「そこに質点があるか」を気にしたくないときに記述しやすくなるのではないだろうか.

@y_bonten 状況良くわかっていないのですが, いわゆる場の理論はその感覚近い気がします. 電荷がなくても電場なりが空間にきちんとあるみたいなそんな感じ

@phasetr ありがとうございます. 確かに, 電荷から解説が始まっても, いつの間にか電場のほうが主役に躍り出ていきますよね.

応答その 2¶

あと この辺.

座標系にまつわる問題が古典力学の理解の大きな壁になっていることは間違いないと思う. 「ある座標系で考えると煩雑になりすぎて実質無理」という状況はともかく, 同じ現象をどの座標系で考えたって, 表現が異なるだけで辻褄が合わないといけない. それを確認するのが勉強だと思うのだが (以下略

@y_bonten それ, 正に解析力学です. 相対論でも大事で, 多様体論の基礎にある思考でもあります

@phasetr なるほど, では同じ心がけでそのあたりの分野も勉強してゆけば良いわけですね. 意を強くしました.

@y_bonten 多様体論自体が解析力学を起源にしています. シンプレクティックのあたりです. 相対論も座標変換による方程式の変換の問題という面があるので

@phasetr そうなのですか! こういうロードマップを示していただけるのは本当にありがたいです.

@y_bonten その辺をもっと積極的にやろうと思ってブログ始めました. Twitter でもときどきやっていましたが

@phasetr よく読ませていただいています. 今後も期待しております.

解析力学と多様体¶

こういうと嫌がる数学の人もいるのだが, 解析力学と電磁気学は数学に影響を与えている. 上で書いた通り, 解析力学は多様体論の母体になっている. 電磁気学は物理のゲージ理論の一番簡単な例だが, このゲージ理論は数学のゲージ理論につながっている. またベクトル解析は電磁気学を整備する中で発展した数学で, ベクトル解析は多変数の解析学で大事だが, より強く幾何学でも de Rham 関連でとても大事.

あまりまともに物理の本を読んでいないのであまり詳しく参考書を挙げられないが, 一応知っているものは挙げておこう. 有名なだけで読んでいない本も挙げるので, ご注意頂きたい.

簡単なコメント¶

山本義隆の解析力学は物理の本だが, 物理の初学者が読むと間違いなくつらいので, もう少し物理として簡単な本を読んでからにした方がいい. 実際, 学部 2 年時の私にはつらかった. ただ内容が豊富なので面白いのは間違いない. また, 素粒子など幾何学が必要な人が手始めに読む本としてもいいのかもしれない. そちらはよく分からないので何とも言えないが.

深谷先生の本は読んだことがない. 評判はよいのでとりあえず挙げておいた.

太田浩一の電磁気学だけ読んだ. マクスウェルは読んでいない. 電磁気学の方は相対論や量子力学との関係についての話題があり, 色々なつながりが見えて読んでいて楽しい. ベクトル解析や Fourier なども適宜解説されている. 物理の中で数学を学ぶ, という点でもそれなりに使えるだろう. ただ, それなりにハードな本なので読みこなすのはしんどい.

理論電磁気学は計算が丁寧なのがいい. 特に電磁波や散乱周りは計算が物凄い面倒なのだが, そういうところで参考になる. 計算できないなんて軟弱な, と思う向きもあるだろうが, 専門というわけではなく速習が必要だったり, 久し振りに復習するときにさっと計算を確かめたい場合などには重宝するだろう. また, 物理を楽しみたい, という向きで計算も頑張りたいが一人はきつい, という向きもあろう. そういうところにとってもこういう本があるのはいいことだと思う. 実際に色々書いてみると分かるが, 細かいところは面倒なので飛ばしたくなるので, 結構こういうところは適当になりがちだ. 専門書だと計算をきちんと追い切らせることも大事な訓練なので, 余計に省かれる傾向にあるから.

ラベル¶

数学, 物理, 数理物理, 力学, 幾何学, 電磁気学, 相対論