Huybrechts, Complex Geometry

読書メモ

何となく読み始めた. まずはさらっと全体を眺めてみている. とりあえずさらさらと読んでみて「これは」と思った記述を抜き出しておく. あとで読むときめんどいので, 適当な訳もつけておく. 英語の表現集としても使っていきたい. 自分用のTeXに落とすことが前提なので適当なコマンドで書いている.

P.14 正則関数の層の茎

正則関数の層の茎で議論すると便利だ. これで何度も何度も開近傍を明示的に小さく取り直す手間が省ける. 必要な記号を準備しよう.

It is convenient to work throughout with the stalk of the sheaf of holomorphic functions. This way we avoid shrinking open neighbourhoods explicitly again and again. Let us introduce the necessary notations.

P.14

環 (\calO_{\bbC^n, 0}) は局所環であり, 極大イデアルは (f(0) = 0) の全ての関数からなる. 言い換えれば (\calO^{*}_{\calC^n, 0}) の単元は (f(0) \neq 0) の全ての関数からなる.

The ring (\calO_{\bbC^n, 0}) is local and its maximal ideal (\frakm) consists of all functions that vanish in 0. In other words, the set of units (\calO^{*}_{\calC^n, 0}) consists of all functions (f) with (f(0) \neq 0).

メモ

代数弱者なので局所環の定義を覚えていなかったのでメモしておく.

局所環

(非可換) 環で (R) は次の同値条件のどれか 1 つを満たすとき局所環であるという.

P.14

この記法を使うと WPT (Weierstrass Preparation Theorem) は次のように言い換えられる. 適当な座標を選ぶと任意の関数 (f \in \calO_{\bbC^n, 0}) は $f = g ⋅ h$と一意的に書ける. ここで (h \in \calO_{\bbC^n, 0}) は単元, (g \in \calO_{\bbC^{n-1}, 0} [z_1]) は Weierstrass 多項式. WPT から次の命題が示せる.

命題 1.1.15 局所環 (\cal0_{\bbC^n, 0}) は UFD である.

Using these notation the WPT can be rephrased by saying that after an appropriate coodinate choice any function (f \in \calO_{\bbC^n, 0}) can be uniquely written as (f = g \cdot h), where (h \in \calO_{\bbC^n, 0}) is a unit and (g \in \calO_{\bbC^{n-1}, 0} [z_1]) is a Weierstrass polynomial. The WPT implies the following

Proposition 1.1.15 The local ring (\cal0_{\bbC^n, 0}) is a UFD.

UFD の定義は P.14 の Definition 1.1.16 に書いてある. あと Gauss の補題: (R) が UFD ならば (R[x]) も UFD.

P.15

要は正則関数に対しても Weierstrass 多項式で互除法が成立する.

Proposition 1.1.17 (Weierstrass division theorem) Let (f \in \calO_{\calC^n, 0}) and let (g \in \calO_{\bbC^{n-1}, 0} [z_1]) be a Weierstrass polynomial of degree (d). Then there exist (r \in \calO_{\bbC^{n-1}, 0} [z_1]) of degree (< d) and (h \in \calO_{\bbC^{n}, 0}) such that (f = g \cdot h + r). The functions (h) and (r) are uniquely determined.

P.16

局所 UFD (\calO_{\bbC^{n}, 0}) はネーターである.

Proposition 1.1.18 The local UFD (\calO_{\bbC^{n}, 0}) is noetherian.

Noether 環の定義は省略.

P.52

実際, 複素代数幾何はある射影空間に埋め込める複素多様体を研究する. 複素幾何での射影空間の役割は微分幾何での級の役割に例えられるだろう.

In fact, complex algebraic geometry just studies those complex manifolds that can be embedded into some projective space. Maybe the role of the projective space in complex geometry can be compared to the role played by spheres in differential geometry.

P.53

複素幾何では実解析の技術的な道具の 1 つである 1 の分割はあまり役に立たない.

Also note that one of the main technical tools in real analysis, the partition of unity, is of limited use in complex geometry.

P.54: 超越次元の定義

体の拡大 (\bbC \subset K) に対して (\mathrm{trdeg}{\bbC} K < n) となる必要十分条件は 任意の ((n + 1)) 個の元 (f_1, \dots, f_n \in K) に対して 非自明な多項式 (F \in \bbC [x_1, \dots, x]) があり (F(f_{1}, \dots, f{n+1}) = 0) となることに注意する.

Recall that (\mathrm{trdeg}{\bbC} K < n) for a field extension (\bbC \subset K) if and only if for any ((n + 1)) elements (f_1, \dots, f_n \in K) there exists a non-trivial polynomial (F \in \bbC [x_1, \dots, x]) such that (F(f_{1}, \dots, f{n+1}) = 0).

P.56

可微分多様体は常に (\bbR^{n}) に微分同相な開集合で被覆できる. 対照的に一般の複素多様体は (\bbC^{n}) に双正則な開集合で被覆できない. この現象は (\bbC) が有界な開円板に双正則ではない事実による (Liouville の定理, page 4 を参照すること).

A differentiable manifold can always be covered by open subsets diffeomorphic to (\bbR^{n}). In contrast, a general complex manifold cannot be covered by open subsets biholomorphic to (\bbC^{n}). This phenomenon is due to the fact that (\bbC) is not biholomorphic to a bounded open disc (Liouville's theorem, see page 4).

P.57

変換関数をもっとエレガントに記述する方法がある. つまり (\phi_{i} (U_{i})) をアフィン部分空間 (\set{(z_{0}, \dots, z_{n})}{z_{i} = 1} \subset \bbC^{n+1}) に同一視する. このとき (\phi_{j} (U{i} \cap U_{j}) = \set{(z_{0}, \dots, z_{n})}{z_{j} = l, z_{i} \neq 0}) かつ (\phi_{ij} (z_0, \dots, z_n) = z_{i}^{-1} \cdot (z_{0}, \dots, z_{n})).

There is a more elegant way to describe the transition functions. Namely, we may identify (\phi_{i} (U_{i})) with the affine subspace (\set{(z_{0}, \dots, z_{n})}{z_{i} = 1} \subset \bbC^{n+1}). Then (\phi_{j} (U{i} \cap U_{j}) = \set{(z_{0}, \dots, z_{n})}{z_{j} = l, z_{i} \neq 0}) and (\phi_{ij} (z_0, \dots, z_n) = z_{i}^{-1} \cdot (z_{0}, \dots, z_{n})).

P.59

(U(n)) or (O(n)) のような古典群は複素 Lie 群ではなく実 Lie 群であることが多いことに注意する. 例えば (U(1) \cong S^{1}) は実奇次元.

Note that certain classical groups like (U(n)) or (O(n)) are often not complex, but just ordinary real Lie groups. E.g. (U(1) \cong S^{1}) which is of odd real dimension.

定義 2.1.11 全ての (1 \neq g \in G) と全ての (x \in X) に対してとなるとき (g \cdot x \neq x) 作用が自由だという. 写像 (G \times X \to X \times X), ((g, x) \mapsto (g \cdot x, x)) が固有のとき作用が固有であると呼ぶ. コンパクト集合の逆像がまたコンパクトであるとき, 写像 (f \colon A \to B) を固有という.

Definition 2.1.11 The action is free if for all (1 \neq g \in G) and all (x \in X) one has (g \cdot x \neq x). The action is proper if the map (G \times X \to X \times X), ((g, x) \mapsto (g \cdot x, x)) is proper. A map (f \colon A \to B) is proper if inverse images of compact sets are also compact.

自由な作用, 固有写像, ふだん使わないからすぐに定義を忘れる.

P.60: Example 2.1.14

離散な格子 (\Gamma \subset \bbC^{n}) が平行移動で自由かつ不連続に作用している. したがってトーラス (X = \bbC^{n} / \Gamma) が複素多様体である事実は上の命題の結果とも思える. 射影空間 (\bbP^{n}) は (\bbC^{n+1} \setminus \cbk{0}) 上の自然で固有かつ自由な (C^{*})-作用の商である.

English

A discrete lattice (\Gamma \subset \bbC^{n}) certainly acts freely and discretely by translations. Thus, the fact that the torus (X = \bbC^{n} / \Gamma) is a complex manifold could also be seen as a consequence of the above proposition. The projective space (\bbP^{n}) is the quotient of the natural (C^{*})-action on (\bbC^{n+1} \setminus \cbk{0}), which is proper and free.

P.68

可微分なベクトル束のカテゴリでは全ての短完全系列が分裂する (補遺 A 参照). 2.4 節でのオイラー列のように, これは正則な設定下ではもはや正しくない.

Recall that in the category of differentiable vector bundles every short exact sequence splits (see Appendix A). This is no longer true in the holomorphic setting, e.g. the Euler sequence in Section 2.4 does not split.