書評: 山下真『量子群点描』面白かったからあなたも読もう

私の 1 つ上の研究室の先輩, 山下真さんの (多分はじめての) 本である. 山下さん, 非可換幾何のイメージがあったのだが, 量子群もやっていたのかという感じ. いまはよくわからないが, 私が在籍していた当時は現北大の戸松さんは量子群が専門だったというイメージなので, 戸松さんではないのか感がある.

山下さんの記憶

こう書くと山下さんが死んでしまったようだが, 本を書いたばかりだしそんなわけはない. 山下さんというと, 修士の頃の次のような言葉を思い出す.

非可換幾何の論文読んでて引用があったからそれを読むとまた引用がされてて, そっちを読んだらまた引用で, 辿っていってもそれについてちゃんと書いてない. 他には引用されている論文を見ると関係があっても微妙に違うことが書かれていることがあって, 本当に困る. 特に Connes の論文がとてもつらい.

その他, 山下さんは抽象的に話してもらわないとわからないタイプで, さらにそれを講義でもやっていたようだ. 抽象的に話しすぎて, お茶大の集合論で有限集合に関する全単射の 簡単な円周問題すら学生の手が動かないほどの抽象性が高く理解しがたい講義をしていたと聞いている. 海外の講演でも同じスタイルでやって「わからないからいい加減にしろ」とかいう話が出て, 本人も反省して少し修正されつつある, とかいう話を以前どこかで聞いた記憶がある.

河東先生による推薦文

それはそれとして, 最初に河東先生による推薦文を勝手に全文引用しておこう. PDF はここにある.

推薦の言葉 本書は量子群に関するたぐいまれな入門書である．量子群に関する本はすでに世界中で多く出版されているが，本書はその内容において大変ユニークな本である．量子群と言ったときに何を指すかは人によって異なる．一番多いのはDrinfeld–神保式の普遍包絡環の量子変形のことであり，神保氏自身による日本語の本を始め，世界中で数多い本が書かれている．もう一つはWoronowiczに始まる，リー群上の連続関数環の量子変形であり，これについてはあまり成書がない．さらにもう一つはある種のテンソル圏の総称であり，これについては英語で本が出始めたところである．これら三者は密接に絡み合ってこれまで発展してきているが，互いに同じものではなく，これらを統一的に見る視点はこれまでの各書にはなかったものである．その点本書はこれらをバランスよくカバーしており，英語を含めても世界初の貴重な書物である．

量子群とは普通の群，特にしばしばリー群を何らかの意味で変形して「非可換化」したものである．ただし群演算はたいてい元から非可換なので，これを非可換化することには意味がない．Drinfeld–神保式の場合はリー環を変形する．一方，Woronowicz式の考え方は，空間とその上の関数環は同じものであり，関数環の方を非可換化することによって，空間の「非可換化」が得られるというものであり，作用素環論では古くからなじみ深い考えである．元の空間がリー群の場合は，そこに積演算が入っているため，関数環の方に Hopf 代数の構造が入る．こちらの代数構造を変形するのである．またコンパクト群についてはその有限次元ユニタリ表現たちが対称テンソル圏をなすので，この「対称性」をいくらか弱めたテンソル圏を考えることによって，「量子的な」対称性が実現できる．

これらの構造はいずれも純代数的に考えることができ，そのような見方の研究者の方が数が多いかもしれないが，自然に無限次元の代数系が現れるため，作用素環論がそこでの重要な道具となり，上記の三つの見方を統一する力の元を与えてくれるのである．著者の山下氏はこのテーマにおける世界第一線の若手研究者であり，このような入門書が日本語で書かれることはたいへん喜ばしいことである．多くの若い読者が本書によって量子群の魅力にふれることを願っている． 河東泰之

私が書評を書く意味がどの程度あるのかは知らない. 自分の備忘録もあるのでとにかく書く.

全く関係ないのだが, 河東先生のページのニュースを見ていたら次のような謎の記述があった.

私のところで今年3月に博士号を取ったOtani君が新聞に出ていることに気づきました．こちらの記事だと博士論文題目も書いてあります． (4/26/2017)

何だこれ.

第 1 章 Fourier 変換と双対性

気を取り直して内容について書いていこう. まずまえがきがかなり気に入っている. 次のような記述があるのだ.

一方で, 量子群について興味があって学んでみたくても, 様々な切り口がありすぎてどこから手をつけたらいいのかわからないと敬遠してしまっている人も多いのではないかと推察される. そのような方に, 量子群に対する様々な分野・方法論を見渡せるような「地球儀」を提供することが本書の目標である.

私が最近展開している通信講座では, まさにこの辺, 数学や解析学の大きな姿を見せることを目的にしている. やはりそういうのも大事だな, と勝手に意を強くしている.

そして内容は一番はじめにフーリエ解析と表現論から入る. 現代数学観光ツアー 物理のための解析学探訪のラストがまさに フーリエだったので, 直接的にこの本に繋げられる. メルマガでも宣伝しておこう. 講座では作用素環にも何度か触れているし, その意味でもばっちり感がある.

フーリエということは群の表現論はもちろんのこと, リー群が出てくる. Drinfeld–神保の量子群からすればリー環の量子化なのだから, リー群の話をせざるをえないので, その意味からも当然だ. リー群, 通信講座を作る体でもう一度きちんとやり直したい.

山下さんは作用素環サイドということもあるし, かなり早い段階から作用素環の匂いを感じさせる. 節の名前が「Fourier 変換と双対性」だし, 作用素環から見ると代数的場の量子論での DHR-DR 関係の圏論的な話もあるのだろうかと思うが, 後半を見ると書いてあるのだろうか. (読み進めながら書いているので後半の詳細はまだよくわかっていない.)

全体的にかなりすっきりとまとまっている感じがある. ノートとこの章に関する参考文献を読んで, 有名な辰馬『位相群の双対定理』が作用素環的なアプローチだということをはじめて知った. 読みたい.

小林-大島も引用されている. これも面白そうと思って 1 度さらっと眺めて終わりになっている. リー群の復習を兼ねてきちんとやり直したい.

前も記事を書いた記憶があるが, リー群は小林先生の講義を受けたことがある. 何も持たず颯爽と講義室に現われ, 質疑応答に対しても完璧な講義を展開し, 講義が終わって質問がないことを確認すると颯爽と去っていく姿に感銘を受けたことを覚えている.

ちなみにその前年に大島先生によるリー群の大学院の講義があったのだが, 何故か常微分方程式の講義になっていた. アクセサリーパラメータという概念が出てきたことだけ覚えている. とにかくほとんど何もわからなかった.

大島のお子さんも東大数理で, 何年か下にいらっしゃった記憶がる. 確か小林研に行ったのではなかったか.

お子さんの方は大島先生より遥かに明快な話ができるようで, 先輩が「彼にお父様の分の講義をやってほしい」と言っていたことを思い出す. 確か三村さんが言っていたと思う.

第 2 章 Yang-Baxter 方程式

Yang-Baxter というと統計力学のイメージがある. 結局生まれたのはどこなのだろう. 冒頭部を見ると Yang は 1 次元量子系の散乱問題を扱っていたという話なので, ふつうに量子力学 (の物理) が発祥なのだろうか. 可積分系じたいもどこが発祥なのかあまりよくわかっていない.

(量子) Yang-Baxter 方程式を見ると結び目を想起する.

P.20 によれば, 数学者の間で Yang-Baxter が有名になったのは Fadddev による量子逆散乱理論であるとのこと. Fadddev, よく名前を聞くがいまだに物理の人なのか数学の人なのかよくわかっていない.

P.20 の下方, 時間発展の作用素半群を見るとそれだけで胸が高なる. P.21 ではバッチバチに解析力学の話なので, 解析力学もやりたくなる. これも復習する体で通信講座作りたい. この本楽しいな.

2.4 節で組紐群との関係が出てくる. これを見ると, 代数的場の量子論, 2 次元時空での DHR-DR で組紐が出てくることを真っ先に思い出す. Haag の Local Quantum Physics で眺めたくらいで, ほとんど全く理解できていないのだが.

ちなみに学部 4 年のとき, どんな本を読もうかと思って河東先生に相談したとき, 次のようなことを言われた.

Haag の本は Haag の哲学を語ったもので, 教科書ではありません.

第 3 章 $\mathrm{SL}_q(2)$, $\mathrm{SU}_q(2)$

戸松さんの話で何度か作用素環スタイルの話は聞いたことはあるけれども, Drinfeld–神保の量子群スタイルの量子群の議論は はじめてまともに読んだ気がする.

3.3 で「コンパクト量子群 $SU_q(2)$」というが, コンパクト量子群のコンパクトにはどの程度実効的な意味があるのだろう. 要は $SU_q(2)$ が本当に適当な位相でコンパクトなのかということが知りたい. そもそも位相空間なのかどうかすらよくわからない.

3.4 節で Templerley-Lieb 代数 (または圏) が出てきた. この Lieb は解析系数理物理の魔人, Elliot Lieb である. 物質の安定性あたりで著名な例の魔人. 可積分関係でも大きな仕事があって, Templerley-Lieb 代数はまさにそれという認識.

可積分系の話だと学習院の田崎さんも絡んだ Hubbard の 1 つ, AKLT 模型もある.

最後, ノートで Ocneanu の名前が出てきた. 河東先生が paragroup とかをやっていた頃にはよく名前を見かけた. まともに論文を書かないという話だった Ocneanu, 今は何をやっているのだろう.

第 4 章 Lie 環や $r$ 行列の量子化

このあたりはもう完全に私が知らない世界だ. 「そうにゃんか~」という感じでもうまともにコメントもできない.

P.48 注 3 で量子群で有名な Kac が 2 人いることをはじめて知った.

4.4 節の次の記述が衝撃的だった.

Drinfeld がこの概念に到達した動機は Knizhnik-Zamolodchikov 方程式と呼ばれる偏微分方程式から得られる組みひも群の表現と, 量子普遍包絡環の普遍 $R$ 行列により与えられる表現とを比較した河野の定理をよりよく理解することだったとされている.

偏微分方程式から得られる組みひも群の表現, すごいゲテモノという感じがある. ちなみにこれ. いわゆる KZ 方程式のことだった. 名前だけは知っている.

リンク先によれば頂点作用素代数関係の話らしいので, 代数的場の量子論からの共形場を介してまた作用素環にまわりまわる感がある.

第 5 章 変形量子化

これも名前だけは聞いたことがある. 冒頭部を見る限り, 幾何 origin で解析力学の数学が起源のようだ.

P.60 での話題. 古典的 Yang-Baxter 方程式の幾何的な意味づけとしての Poisson-Lie 群が出てくるらしく, そういう話はやはり面白い.

P.61 で Borel 部分群 $B$ という言葉が出てきた. ふと, 昔, 山下さんと会話した「僕がいる院生室で Borel っていうと, ルベーグ積分とかの Borel じゃなくて違う Borel の話になるよ」というのを思い出した. 旗多様体が出てくるので Borel-Weil とかの Borel でいいのだろうか. Borel-Weil も名前しか知らないのだが. Borel-Weil も前に挙げた小林-大島本に書いてあった気がする. もっとちゃんと読みたい.

第 6 章 代数的な理論

どんどんコメントする余力がなくなってきた.

P.73, これも黒木さんのツイートで見かけて名前だけは知っている 柏原の結晶基底の話が出てきた. 結晶基底はなぜ結晶という名前がついているのだろう.

P.80 で推移的な作用を「作用素環論的な文脈ではエルゴード作用という」というコメントがあった. 本当に恥ずかしいのだが, 推移的な作用とエルゴード作用の関係を考えたことがなかった. ふだんろくに使わないのでいつまで経っても覚えられなかったが, これなら両方覚えられそうだ. 念のため定義を引いておこう.

群 $G$ の集合 $X$ への作用を考える. $X$ が空でなく $X$ の任意の元 $x$ に対して $Gx = X$ が成り立つとき, $G$ の作用を推移的と呼ぶ.

確かに (物理の気分で) エルゴードだ.

ノートで戸松さんの論文が引用されていた. ちょうど私が院にいた頃に出版された仕事のようだ. こんなことをやっていたのかと 10 年のときを経て知った.

第 7 章 作用素環に基づく理論

知っている名前や概念が突如大量に出てきたのでテンションが上がる. やはり名前だけでも知っている話が出てくると一気に食いつきがよくなる. 自分のコンテンツにもこの知見を活かさねばならない.

P.87 の cancellative な半群構造を持つコンパクト位相空間の性質, 尋常ではない感じがある.

P.87, Haar 測度の存在と言われるとテンション上がる. やはりこの辺好きなのだなと実感する.

P.90, Woronowicz による淡中-Krein 双対性の話を見ると, やはり難しすぎて断念した DHR-DR の勉強をやり直したくなってくる. 確か荒木先生の本で勉強したような記憶があるが, あれ, 本当に何もわからなかった. 使われている数学に全くついていけなかった. 今もまだついていける気がしない. DHR-DR, いっそ原論文を読んだ方がいいのではないかという気もするが, 手元にあっても眺めたことすらない. その辺も検討した方がよさそう.

P.95 の $C^*$-環に affiliate する非有界自己共役作用素とか, いかにもゲテモノ感があるし, Woronowicz はよくそんなの頑張って解析したな感がある. 竹崎先生が「作用素環の人は非有界作用素を本当に嫌がる」みたいに言っていた記憶がある. Riefel-Van Daele の有界作用素による冨田-竹崎理論の定式化に対する 有名な論文があるくらいだし, 竹崎先生がそういうならそういうところもあるのだろう. 実際, 非有界作用素の作用素論が専門である私としても, 非有界作用素は面倒で鬱陶しいとは常々思う.

第 8 章 テンソル圏

代数的場の量子論は学部 4 年のときに専門にしたいと思って, 一定以上の勉強もしたところだし思い入れがある. そことの絡みがあるからずっと気になってはいるところだ.

もはや内容とほぼ関係ないのだが, QED と絡むところで DHR-DR に対応するという BF analysis はどういう展開があるのだろうと学生の頃から気になっている.

脱線ついでに言えば, 亡くなってしまったのでもはや永遠に聞けないが, Borchers による自己同型群のスペクトル解析もずっと気になっている. 多変数関数論マターでもあるので, そちらもちゃんとやりたいとか, そんなことばかりが頭に去来する.

まとめ

細部はばっさり切り落としていて, とにかく大きな姿をまず掴みたいという希望があるならかなりいいのではなかろうか. 本の中でもいくつか引用があったように, 雑誌「数学」の解説なども確かに参考になるだろうけれども, 短かすぎてなかなかまとまった姿は見出しにくいように思う.

それがこうした本の形にするのがいいかはともかく, 100 ページくらいですかっと (日本語で) まとまっているとやはり読みやすい. 私の既存の講座, 特に現代数学観光ツアー 物理のための解析学探訪は A5 サイズで 350 ページもあるのでさすがにやりすぎた感がある. 実際にいまもっと小さくしてトピックも絞ったものを試験的に展開してみようと思っている. いろいろ試してみよう. そういうモチベーションや参考にもなったので, 非常によかった.

何より先輩の仕事だし, 負けていられないと出来の極めて悪かった後輩のくせに 勝手に思っている.