2021-05-22

ランダム行列の数理が面白そう

コンテンツアーカイブの URL を変えました

いま整理しているアーカイブサイトの URL を https://phasetr.com/archive/ に変えました. 以前のメールにあったリンクも死んでいるのでご注意ください. いまのところ free だったのを archive に変えただけなので, そこだけ直せば問題ないはずです.

何にせよまだページ構成・URL は流動的なのでご注意ください.

今週の新規コンテンツ

買った本

数学セミナーは特集の数学史目当てに買ったものの, 普遍被覆の話が書いてありました. リーマン面の解析接続と直結するテーマです.

後者に関してはいま書評を書くためにちょこちょこ読んでいます.

コメントをちょこちょこ入れてあるので参考にしてください. 本にはネタ自体はいろいろ書いてあるものの, P.50 程度まで読んだ範囲では, 純粋に本を読み進める上ためには, 線型代数・微分積分・関数論の基礎があれば十分そうです.

私のメルマガに登録するくらいの人なら, 十二分に楽しめる本のような気分があります. 値段がやたら張るのが難点ですが. 書評をまとめたらまたアナウンスします.

今週のリーマン面

前段が長くなったので今回は軽めにしましょう. 被覆空間の話は追々進めることにして, 私のノートの順番で進めます.

リーマン面の定義

リーマン面は連結な一次元の複素多様体として定義します. 単なる一次元の複素多様体ではなく, 連結性を課すのがふつうなようです. 実際, 解析接続まわりでは大事な性質ではあります. さらにふつうの多様体論でも連結な多様体が基本です. ついでにいえば, リーマン多様体もふつうは連結性を仮定します. これは距離関数の定義に関わる問題なのでリーマン面とはまた別の理由ですが.

リーマン面の例

もちろん複素平面の領域 (連結な開集合) が一番基本的な例です. 他に関数論, 特に有理型関数の理論からは複素射影空間が重要で, 解析接続からは複素平面の原点を抜いた集合 Ccross や半平面が重要です. 特に Ccross は指数関数の値域としても出てきます.

解析接続の理論で重要な関数

被覆空間の例として指数関数・対数関数がかなり大事です. これはそのうちきちんと書く機会があるでしょう.

もう一つ大事なのは $k$ 次の単項式 $p_k(z) = z^k$ です. これが大事なのは正則関数の局所的な振る舞いと直結するからです. 本によっては正規形定理と呼ばれていて, 全ての正則関数は適切な座標系に対して局所的に $k$ 次の単項式で書けることがわかっています.

ふつうの関数論では単純なテイラー展開からしたがう定理で自明と言えば自明です. しかし実はこれが異様なくらい役に立ちます. 多重度のような概念の基礎でもあり, 正則写像に対する開写像定理や逆写像定理を直接の系に持ちます. 解析接続でもシートの枚数と直結していると言えば, 重要度はわかってもらえるでしょうか.

局所的にはそう書けると言いつつ, 実は連結性とも絡めて正則写像を大域的に制御する強烈な言明です. 証明も含め, 多様体論・多様体間の写像の理論としてもごく基本的な認識を育ててくれる定理なので, まずはこれをきちんと制圧するのが大事です. 解析接続を考える上では根源的な定理と言っていいでしょう.

最後に

関数論・リーマン面はまだまだ慣れていません. 大事だと思ったことを書いていますが, 何か変なことを言っていたらぜひ教えてください.

今回はこんなところで. ではまたメールします.

ロシア語がきつい／相転移プロダクション

コンテンツアーカイブの URL を変えました

いま整理しているアーカイブサイトの URL を https://phasetr.com/archive/ に変えました. 以前のメールにあったリンクも死んでいるのでご注意ください.

いまのところ free だったのを archive に変えただけなので, そこだけ直せば問題ないはずです.

何にせよまだページ構成は流動的なのでご注意ください.

今週のコンテンツ

文法をやらないと調べられないし覚えられない

これは上の英語・多言語の勉強会でロシア語をやっていて痛感したことです. 文中で活用した単語を辞書で調べられない事案が発生しました.

ネットで叩き込むと適当に翻訳だけは出てきます. しかしいわゆる原形というか不定形, または辞書の見出し語がわかりません.

もう駄目だと思って, ロシア語はまず文法を勉強しています.

ローマ字だからということもあるのか, イタリア語やスペイン語だとろくに文法を勉強していなくても, 力づくで何とか読めてしまうものの, ロシア語はどうにもなりませんでした.

何かを暗記したり調べるにも, 最低限の文法・ルールがわかっていないと厳しいことを痛感しています. 一緒に勉強会をやっている K さんともこの間その辺の話をしました.

やはり最近の理工系で勢い自体はあるので中国語は勉強したいのと, サンスクリットに近いヒンディー語あたりも勉強したく, あとは一部の理工系の専門用語の基礎でもあるアラビア語もやりたいと思っています. 最近は重要な文献は翻訳されているらしいとはいえ, 数学・物理からすればロシア語ももちろん勉強したいです.

いままさに勉強会で, 全く勉強していないスペイン語が何となく読めていて, このレベルで各言語が読めるようになるのが目標です.

まずはまともにロシア語の辞書を惹けるようになるのが目標です. ちなみに Emacs で, ではありますが, キリル文字は気楽に・自由に打てるようになりました. Emacs を使っている人限定で誰得かわかりませんが, 一応次のページに載せています.

set-input-method の cyrllic-translit でやっています. これが一番私にとって直観的に打てそうでした. あとは地道にやっていきます.

あとは中国語やりたいので, いまピンインそれ自体と, ピンインから簡体字を打てるようにする部分を調べています. 前に調べたもののうまく使いこなせていないので, 思い出す部分からはじめます.

文字が打てないと検索も大変なので, まずはその辺をどうにかしたいです.

ドイツ語は一通り文法まとめをしましたが, 雑なのであまり出せるレベルでもなく, 勉強が進んでおらず数学・物理と違ってストックもありません.

今回あまり情報を出せていませんが, 地道に勉強とコンテンツ制作は進めている, という報告くらいはしておきます.

ではまたメールします.