2021-08-28

『ランダム行列の数理』が気になってきた方の市民／相転移プロダクション

今回のテーマ

式を含むことも多いため, 記事本体はアーカイブサイトへのリンク先にまとめています.

メルマガのバックナンバーは次のページにまとめてあります. 興味があればどうぞ.

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「読んだよ」だけでもいいのでぜひ感想をください. メルマガを書く励みになります. 最近感想を頂く機会が増えてきたので素直に嬉しいです.

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ではまたメールします.

メルマガへの返信

次のようなコメントが来ました.

無責任に書きますが、知識そのものもさることながら、本を読んでいるときの感覚（堀田量子本に対する感想のようなもの）を放談風に書いてくださると非常にありがたいです。結局ちゃんとやるには自分で読み込まなければならないのですが、そもそも「これ」は超難しいのか、コツさえつかめばやさしいのかという感覚がわからないので。

これはいろいろな意味でただでやれるレベルの内容ではないので, やってほしいと言われても困るのですが, 何かしらこれまでとは違うこと, または違う切り口でのコンテンツ・サービスを展開した方がいいのだろうなとは思っています.

考えていることはいろいろありますが, 「お金かかるならいいや」という人も多いようなので厳しいですね. そこまでの信頼が得られていないのでしょう. 不徳の致すところです.

凸関数に対する議論と簡単な計算とプログラミング

Twitter を見ていてちょっと気になることがあり, 凸関数に関するミニノートを作りました.

この中で非凸性の証明が面倒だったので (Julia で) 数値計算した結果とそのグラフを張ることで証明とした部分があります.

さっとプログラムを書いてお絵描きできると便利なのを改めて感じました. 統計の勉強会でも散々数学的・定性的に議論したことでも, 改めてプログラミングでお絵描きしてみるとまた違う感慨があって面白いというのを何人かで確認しました. Julia の勉強も兼ねてやはりこれもコンテンツ整備したいとは思っています.

プログラミングで数学を 中高数学虎の穴

量子力学の勉強会で「ちょっとレベル感が違う (難しすぎる)」からと言っていた方に, それならこれはどうか, と既存のプログラミングコンテンツを勧めてみたのですが, 楽しんでもらえているようです.

いま経路積分が楽しすぎて完全に停止していますが, リー環の勉強でプログラムを書いて行列計算させるのが非常に便利で, しかも楽しいです. ふつうの行列論・線型代数もさることながら, リー群・リー環のような具体的で役に立つ少しアドバンストなテーマについても, こういうノウハウを貯めています.

メルマガ送信前のたった今, 次のコメントが来たので返信しておきます.

グラフを活用して視覚的な理解を得ていますが、四変数以上の場合などで図示できない数式をどう直観的に把握すればよいだろうかと思いました。その点、プログラムを書いて理解するという学習法は視覚的側面もありつつ図示の限界がないのでよいかもしれないとも感じました。

まず結論から言えばそれはそうです. むしろ現代数学に関わる他の講座では「視覚に騙されることもあるので, 下手な図を描くのは勧められない」とまで言っています. あとでも考える量子力学からすると, そもそも「見る」ことの意味さえ自明ではなく, 視覚的な理解の定義からして問題です.

これは現代的な統計学・機械学習でも問題と言えば問題です. 数十から数百パラメーターがあり, 本当にグラフの書きようがありません. 一方で実用と直結するので広い意味での回避法も発展しているので, それを見て実践してみるのも一手です.

期待するコメントではないのは前提として, 例えば統計学では点の色・形・大きさに意味を持たせることで, 平面上のグラフで 3 どころか 4 以上の次元の情報を盛り込むことはできます. もちろん統計学などで実際に使われてもいます.

他には二次元の射影を大量に作る手法も統計学ではよく出てきます. これも全体像を一目で掴むのははじめから無理ですが, 無理と言って諦められる対象ばかりではないので, 統計学の実践の中で使い倒されてきた手法です. むしろこれこそコンピューターのおかげで簡単に大量に作れるようになった分野でもあり, ちょっとやった程度で簡単に諦めてもらっては困ります.

それ専用の数学的・物理的直観を育てるという (最終) 手段もあります. 私の場合, 主戦場は無限次元の線型空間です. 高次元の極致のような存在です. 目で見える対象ではありませんが, ギチギチにこれらを勉強した人間にしかない, 何かしらの直観を私は持っています.

いま話題のメンタリスト DaiGo も, 彼は彼なりに目に見えない他人の精神を見て制御する術を持ってはいるはずで, 目に見えない対象とのバトルは数学や物理に限ったことでもありません. 最後は勉強量・修行量と慣れであって小手先の話ではありません.

この辺, どうも大人であっても通じない人がいるようなのですが, 何でも同じです. 例えばファッションやデザインなどは私は何もわからないのですが, 明らかに私に見えていないモノが見えている人がいます. 具体的に何と言うこともできませんが, その人達がやること・作るモノは確かに明らかに違う・良いと感じることがよくあります. 逆に言えば数学・物理もその程度の話です. 目に見えることだけでどうにかなるはずがありません.

それでも見えるところは見る, 見えるようにできるところは見えるようにする, そうした努力の一つがプログラミング利用のコンテンツのポイントなので, 用法・容量を守って適切に使ってください. 銀の弾丸など存在しません.

竹崎正道先生の米寿記念研究会

知らない間にはじまって終わっていました.

80 歳のときは実際に東大に行って参加してきたのですが, 今年はさすがにオンラインだったようです.

80 歳記念の勉強会では「娘もなくなってしまったが, 学問上の知人・友人, 息子・孫がこんなにたくさんできて, こんなに嬉しいことはない」みたいなことを言っていたと思います. 竹崎先生のスライドは少なくとも当人とそのコメントを知っているとなかなか感動的です. 竹崎先生関係の話もいくつかサイトに載せています.

特に『数学まなびはじめ』の竹崎先生の記事が本当によいので, ぜひ買って読んでください.

超局所層理論

池祐一さんが PDF を公開しています.

超局所層理論はともかく, 層についてはリーマン面などでも重要です. 証明は意図的に省いているところも多いそうですが, かえって概要を掴むのには便利なのではないでしょうか. 私もまだきちんと読めていませんが, そのうち読んでみる予定です.

木村太郎さんの『ランダム行列の数理』

まだまだ私の中で量子力学祭りはフィーバー中です. ついでに経路積分も再勉強しようと思い, 関係する数学もやっています. 以前から気になっていた中村徹著『超準解析と物理学』も読もうと思っています.

量子測定で有名な小澤正直さんは超準解析も使っていて, そちらを勉強するときにも役に立つだろうという見込もあります. 買ってパラパラと眺めはじめています. ここで竹内外史本に格子ゲージ理論の超準解析は面白いのではないかというコメントがありました. それを見て俄然格子ゲージ理論に興味が出てきました.

現状全く知らないのですが, $\phi^4$ とイジングよろしく (有限) 格子上でがんばっていろいろやって, 場の理論の議論をするタイプの分野だと思っています. 有限格子ならゴリゴリの線型代数の話で, 最近機械学習の物理への応用などでも有名な, 橋本幸士さんや富谷さんあたりの話なのだろうとか適当に思っています.

P.10 に次の記述があります.

数理的フレームワークとしての超弦理論の有用性

等価だが別の物理系に問題を移し替えて（幾何学的に）解く 問題：強相関系、多自由度系、ソリトンなど

等価な系に問題をうつすのは量子情報も重視した堀田量子でも重要な視点ですし, 幾何も絡んでくるのは先日から主張しているアハロノフ-ボームにも通じる視点で, 広い意味でずっと気になっている視点でもあります.

上記橋本さんの文献にあるように, 物性の視点から超弦理論や格子ゲージやら何やらを見ているのが木村太郎さんで, 『ランダム行列の数理』がまさにこれか? と思っています. しばらく別件にかかりきりで読むのをさぼっていたのですが, ここ数日読み直しはじめています.

ここにメモを残しながら雑に一周しているところで, 興味があれば適当に眺めてみてください.

現時点での簡単な書評もメモ・シェアしておきましょう.

私の物理はほぼ学部レベル, または数理物理でしか議論されていない物質の安定性などのピーキーなテーマの固め打ちなので, なかなかこの本の物理的射程を捉え切れていないのですが, 物理の学部 1-2 年生が適切な指導者のもとで読むと数学・物理に対する大きな視野が得られてかなり楽しいのではないでしょうか. 少なくとも表に出ている計算はほぼ純粋な線型代数と微分積分の計算で, 難しい数学が出ているわけではありません. 特に行列式の計算が大事で, 線型代数の抽象論どころか具体的な計算をがんばっているいろいろ見えてくるという面白い話がたくさん書いてある印象です.

問題はここで議論している内容を物理・数学ともに射程範囲におさめている人がどこにいるか, どれだけいるかでしょう. 私が数学的な展開ならまだ多少見えますが, 物理にまで踏み込める素養がありません. 物性まわりにしても極端に守備範囲が狭いのでなかなか大変です.

有名な小林-大島の『リー群と表現論』でも, 「この本にはいろいろな分野の数学の記述があるが, それに臆さず読んでほしい. そうした予備知識が必要だと言いたいのではなく, 広く深く多彩な数学との関係があることが表現論の魅力だからだ」と書いてあります. まさにそういうタイプの本なので, 細かいところを気にせず読めるところだけ読んで, 気になるところは個別に突っ込んでみたり, 誰かに聞いてみるのがいいかもしれません.

この本については書くことはたくさんあり, 上記の書評メモページにもいろいろ書いていますし書いていきますが, 特殊関数論にも従来の偏微分方程式の具体的解法以外の光を当てているようです. 新しい物理数学の本としても楽しめるはずなので, ちょっと高いですがぜひ買って読んでみるといいでしょう.

堀田量子に関して適当に放談してほしいというコメントを紹介しましたが, これに関して木村太郎さんと適当に話したりしても楽しいのかもしれません. 本当にやるかどうかはともかく, 実際に話したときに面白い話が引き出せる程度にちゃんと勉強して理解するのが今の目標の一つです.

自然言語の多言語学習とプログラミング／相転移プロダクション

今回の内容

数物系のメルマガが式を含むことも多いため, 先日から引き続き, 記事本体はアーカイブサイトへのリンク先にまとめています.

メルマガのバックナンバーは次のページにまとめてあります. 興味があればどうぞ.

今回も, 諸事情で勉強会は中止したので, 残念ながら動画はありません. 勉強会で言おうと思っていたネタがあるのですが, 忘れる前にメルマガで供養しておきます.

感想をください

「読んだよ」だけでもいいのでぜひ感想をください. メルマガを書く励みになります.

メルマガへの返信でも構いませんし, 次のアンケートフォームへの回答でも構いません.

ではまたメールします.

数学・科学の英語記事を読もうの会の展開

何回か休みがあったものの, 二ヶ月のトライアルが終わりました. 当初は数学・物理に関わる文章を読もうと思っていました, むしろふだん読まないタイプの文章をサクサク読んでいくのが面白いことがわかったので, その視点でさらに教材研究の勉強会を続けます.

他の言語はともかく, 私の英語学習は本質的に大学受験で終わっているので, 数学・物理の専門用語以外の単語力が本当にありません. 次回からの文章はアメリカの小中学生向けという National Geographic kids でさえ知らない単語が出てきます. その意味では小中学生向けの文章さえ私には勉強になります.

そもそも英作文の視点から見ると, シンプルな文章にこそ勉強すべきポイントが凝縮されているので, その辺も地道に進めます.

こちらの雑誌を読む勉強会は今後いったんクローズドにするので, 参加したい方がいたら連絡をください.

単語で遊ぶ

まずは英単語です. 最近改めてラテン語文法を勉強しはじめ, 雑に眺めていると少なくともフランス語はゴリゴリにラテン語の娘であることがはっきり見えてきました. もちろんフランス語学習は英語学習にも役に立つので, まわりまわって英語学習です. ラテン語の本を眺めていて調べようと思ったことがあり, メルマガに書くでもしないとやらないので, メルマガを書く体で調べ勉強します.

hypo, hypothesis

数学の作用素論でも hyponormal operator, hypoelliptic operator という単語があります. おそらくわかる人には見てすぐわかるようにギリシャ語由来です.

hypo は before の意味で, thesis はラテン語だと命題 (proposition) の意味もあり, 命題の前に置く原論から仮説などの意味になるのでしょう.

region: rex, rajah

これもラテン語の本で rex を見てふと思ったことです. 以前, 少なくとも相対論の勉強会でもコメントしたように, マハラジャの maha は mega や摩訶不思議の摩訶と語源が同じで, ラジャ rajah は王の意味です. マハラジャはサンスクリット由来で, まさに印欧語というときの印です. 印欧語の欧の代表であるラテン語の rex もやはり王の意味があります.

ここで region は王の支配地の意味で領域といった意味を持つのではないかと思ったのです. 語源関係の調査法をきちんと理解しきれていないので何ともいいようがないのですが, 何となく調べた限りでは関係はあるようです. 興味があれば次のリンク先を眺めてみてください.

フランス語で遊ぶ: avoir

今回は英語の have に対応する avoir です. イタリア語では avere, ラテン語では habere が対応するようです. ちなみに英語の have とラテン語の habere の語源は同じではありません.

ここによると avoir と habere も語源は違います. フランス語の直説法現在の標準的な活用を知らないと何が変則なのかわからないと思いますが, avoir は次のような変則的な活用を持ちます.

人称 単数 複数
一人称 j'ai nous avons
二人称 tu as vous avez
三人称 il a ils ont

意味

英語でも同じように基本的な単語は異様に多義的で, 多彩な意味・用法を持ちます. 英語の have も日本語の「持つ」からは想像もできない対象を持てます. 例えば I have a headache. など頭痛が持てます. ちなみにフランス語でも頭痛は持てる対象で, J'ai mal à la tête. と書きます. この tête はラテン語の testa に由来する「頭」の意味を持つ単語です. ちなみに mal は英語で栄養失調などを malnutrition と表すように, 悪いことを表す単語です.

助動詞としての avoir

その前に時制や雑多な話

いきなり脱線しますがフランス語は英語よりも多彩な時制があり, その時制表現がフランス文学を豊かにしていると言われているようです. フランス語と文学と言えば, 英語と違って人に対する表現とモノに対する表現が同じように書ける点も文学性を高めると言われているようです.

例えば英語で「日が昇る」と言えば日本語と同じように The sun rises. と書きます. しかしフランス語では「太陽が起きる」を Le soleil se lève. と書きます. この se lever は代名動詞で「起きる」の意味で, 人が起きるときにもこの代名動詞を使います. この擬人表現がフランス語の面白いところだそうです.

ちなみに英語の三人称単数が he/she/it と人・モノを区別している一方で, フランス語は he/she にあたる il/elle だけで人・モノを区別する単語がありません. これは上の擬人表現・モノに対しても人と同じ表現を使うことと整合的だとか.

いくら近かったり関係が深くても, 言語ごとにその言語を彩る特性があります. それはその言語を操る人達の歴史的・文化的特性もあります. 例えば旧ユーゴスラビアのクロアチア語とセルビア語の言語的な違いの筆頭は使う文字で, あとは八割同じと言われています. クロアチアとセルビアは文字通り致命的に仲が悪く, 本質的な言語特徴はよく似ていてもそれを操る人達の文化的・歴史的特徴が決定的に違うのです.

外務省の次のページも参考になるでしょう.

時制

さて, フランス語には複合時制という概念があります. 実は英語には未来表現はあっても未来形という概念はありません. これは未来を表すにはあくまで助動詞 will や be going to を使わざるを得ず, 現在形・過去形とは違って動詞に未来形がないという意味です.

そしてフランス語には助動詞なしの単純時制として, 過去形と未来形が本当にあります. そして複合時制として助動詞をつけた過去・未来表現があります.

英語でも時制の助動詞として have を使います. そしてフランス語でも時制の助動詞として avoir と être (be 動詞) を使います. いわゆる往来発着系の動詞に être を使い, それ以外に avoir を使います. 実はドイツ語も同じように往来発着系の現在完了的な時制に sein (be 動詞)を, それ以外に haben を使います. (ドイツ語・フランス語と比較したとき) 英語だけこの特徴がつぶれて have しか使わなくなっているのです.

ちょっとしたコメント

このように他の言語と比較することで, 逆説的に英語とその特徴を見つめ直す形で英語を勉強しています. もっと言えば日本語にも他言語・他言語からの光を当てて見直しています.

何度も言っているつもりですが, これはプログラミングの勉強と同じです. ある言語でこう書くことを他の言語ではこう書く, またはこんな言語機能があるというのを学び, 自分の得意な言語にフィードバックするのはよくやられています. プログラミングでは毎年一つ新しい言語を勉強するといいと言われることさえあります.

しかし何故か自然言語ではこういう話を聞きません. そんな半端なことばかりして全部中途半端になるより役に立つ英語を勉強したら, みたいな知ったようなことを言う人もいますが, どうせ (私も含めて) 英語さえまともに使えていないのだから, 半端だろうが何だろうが知ったことではないのです.

英語のスペルと発音のずれは有名です. フランス語もよく発音とスペルのずれの面倒を言われますが, 英語と比べるから発音がわかりにくくなるだけで, フランス語のルールがきちんとあって慣れれば英語よりは遥かに厳格で明確です.

これと比べると日本語の発音ルールの方がよほど無茶苦茶です. これもよく例が挙がっています. 例えば「一」について「一つ」と書いたら「ひとつ」であって「いちつ」と読みません. 漢字の読み自体たくさんあり, 振仮名がつくことでまた変幻自在に変わります. おそらく中国人でさえ全部振仮名を振ってくれと思うのではないでしょうか.

いまいろいろあってアラビア語も軽く眺めていて, 文字からして苦労しています. 高々 30 文字程度しかないにも関わらず. しかし日本語を思うと平仮名だけで 50 文字あり, カタカナもあれば漢字もあります. 文字だけ考えるなら, それに比べればアラビア語も大したことはないと思って歯を食いしばって文字を勉強しています.

別にあなたにも同じように多言語学習しろというつもりはありませんが, もともと理工系的にも私は数学・物理・プログラミングの「三言語」を雑に使う種族の人間なので, もうそういうものと思って適当にやっています.

この辺もやはり人を巻き込んで勉強するのが一番捗るのはこの一年の勉強会でよくわかりました. もっと多くの人を巻き込むための準備を着々と進めています.