2021¶
2021-05-15 物理の人の数学への向き合い方¶
やりとりメモ¶
定理や命題の主張は理解できるけど証明が全く分からない場合、数学の人はしっかり補うと思うんだけど、物理の人はどう向き合っているんだろ。
— みるか (@mirucaaura) May 15, 2021
物理で必要な計算ができるかどうかがまず問題で、その時点で証明できる力があるかもわからない（学部一年で超関数のフーリエ変換さえ出てくる）ので、気にしなくなります。どうしても気になる勢は多分本当に数学に行きます。
— 相転移P (@phasetrbot) May 15, 2021
確かにその時点で証明に必要な数学の知識があるとは限らないですものね。
— みるか (@mirucaaura) May 15, 2021
もっというと、流体力学の基本方程式であるナビエ・ストークスはいまだに解の存在と一意性が証明できておらず世紀の大難問として有名ですし、そもそも証明できるかどうかさえわからなくても証明抜きでバリバリ使うので、この辺が数学的に攻めきれることが多少なりともありうる分野と多分気分が違います
— 相転移P (@phasetrbot) May 15, 2021
追記¶
定理や命題の主張は理解できるけど証明が全く分からない
これに関していくつかのポイントがある. 大きくわけて次の 2 つの場合がある.
- 純数学的な議論: 例えば代数の準同型定理など.
- 物理的な議論を強く含む場合: 例えばベクトル解析の諸定理.
後者の場合は次のような「物理的な証明」がある.
- (暗黙のうちに) 簡単な場合に限定した (厳密な) 証明.
- そのままでは正しくないが, 少しの修正で正しくなる「証明」.
- 大雑把に考えてさえ正しくないが, 物理での応用上の気分はよく掴める「証明」.
一番目はベクトル解析でよく出てくる. 二番目はデルタ関数の近似関数列として熱核の代わりに原点近傍でだけ $n$ を取る関数列を取るとき, 三番目はそもそもとしてデルタ関数を「原点でだけ無限大の値を取る, 全積分が 1 の関数」として「定義」してしまうことあたりを想定している. 必ずしも証明の話ではないが気分は伝わるだろう.
次のような番外編もある.
- 厳密には正しくなく凄まじい修正さえ必要だが, 数学的な気分が説明できる「証明」.
なぜこれを入れたかというと, Witten をはじめとした超弦理論まわりの人々が数学の人と話すとき, 数学者向けに調整した「説明」がおそらくこのタイプだからだ.
もっと言えば数学者の言う「アイデア」もこの手のタイプの「説明」だろう. これについては研究レベルにまで進んだ人と, 私のように修士程度で, 研究ごっこまでしかしなかった (できなかった) 人間とでまた少しスタンスの違いが出てくる. 大した話ではなく, 単純にアイデアレベルの数学的な雑な気分を本当にゴリゴリに厳密にした経験があるかどうか. この経験がある数学関係者はいい意味の緩さを持っているし, 何なら人によっては本当に「物理学者の雑な議論を精緻化するのが自分の仕事」という人さえいるだろう.
最後, 物理関係者の話から数学関係者の話になってしまった.
2021-05-05 解析力学で$q$と$\dot{q}$は独立か?¶
我らが久徳先生とやりとりした記録を残しておく.
やりとり¶
解析力学の入門段階で「qと\dot{q}とは独立ではないのでは」という話が無限に繰り返されることになるのはつまり十分な割合の初学者にとってわかりやすい説明が開発されたことがないということなのだろう
— Q (@life_wont_wait) May 5, 2021
まずノーテーションが悪いという気分があるのですが、他学科対応などさておき、普通の物理の人はどう乗り越えるものなのでしょうか。
— 相転移P (@phasetrbot) May 5, 2021
きっと悪いんでしょうが、自分がどう乗り越えたのかはもはや覚えていませんね。個人的にはLagrangianじゃなくて最初に適当なポテンシャル中にある質点の力学的エネルギーをE=E(q,\dot{q})と書いたらすぐに雰囲気わかるやろと思うんですが、案外そうでもないらしいです
— Q (@life_wont_wait) May 5, 2021
物理としても数学としても綺麗なのはとにかくいろいろな曲線（あるfに対するq_1=f(t)とq_2=f(2t)は軌道が同じでも速度違うとかそんな感じでqと\dot{q}を分離する）とそれに対する変分原理で見ることだと思うのですが、どうなのかと思っています。
— 相転移P (@phasetrbot) May 5, 2021
曲線のパラメータという気持ちが伝わる人にはそれでいけそうですが、古典力学だと時間が特別な地位を占めていることもあって初学者向けではないかなあというのが正直なところ
— Q (@life_wont_wait) May 5, 2021
変分原理に持ち込めるのが（一部の理論）物理（学者）から見て綺麗なだけで、恐ろしく数学的で、初学者というか物理ではないなという気分はあります。
— 相転移P (@phasetrbot) May 5, 2021
物理としてどこまでを射程に捉えるかという話はともかく、概念からして初学者向きでないのはそうですね
— Q (@life_wont_wait) May 5, 2021
補足¶
次のように書いた.
物理としても数学としても綺麗なのはとにかくいろいろな曲線（ある $f$ に対する $q_1=f(t)$ と $q_2=f(2t)$ は軌道が同じでも速度違うとかそんな感じでqと\dot{q}を分離する）とそれに対する変分原理で見ることだと思うのですが、どうなのかと思っています。
これに関していくつか補足しておく.
標準的な数学的処理¶
まず数学的にどう処理するかというと, ラグランジュ形式の力学では接束, ハミルトン形式の力学では余接束上で考える. 配位空間としての多様体に住んでいるのが $q$, 接空間に住んでいるのが $\dot{q}$ で, 全然違う空間に住んでいるので数学的には完全に独立だ.
最終的に粒子の軌道を考えるとき, 数学的な意味で曲線を決め, この各点での接ベクトルとして速度が決まることにすれば, いわゆる力学での速度としての $\dot{q}$ として実際の速度が与えられる構造になっている.
変分原理での見方¶
大したことではないものの, 文章で書くと割と面倒で, 式もいくつか必要だ. このサイトの仕組みと MathJax によるレンダリングの重さ問題もあり, あまり式を書きたくないので雑に書く.
まずツイートで書いたのは曲線の像としての軌道は同じでもその関数・導関数は同じとは限らないとしか言っていない. 変分原理はふつう両端点での時刻を固定する. 上の例は単純に移動速度を二倍にしているから, 開始時刻が同じだとすると終点につく時間がずれてしまう. 実際には変分原理はここまで含めてきちんと定式化できているのでそれをコメントしておく.
変分原理では端点の時刻と端点での空間位置・速度の境界条件を固定する. 変分原理での変数は適当な滑らかさの曲線で, 曲線には凄まじいバリエーションがあるのでこの拘束下でもきちんと議論できる. 例えばある曲線 $c$ に対して, 位置・速度ともに境界を固定しても, 像の中を猛スピードで行ったり来たりする「曲線」を選べば最初と最後の辻褄は合わせられる. 逆に言えばこれが変分原理が保証している自由度だ.
こう思うと何がいいかと言えば, 多様体というよけいな概念が少なくとも見かけ上は消える. これまた逆に言えばこれを数学的にきちんと考えたのが多様体論であり, 接束または余接束とも言える. 実際, 現代幾何の基礎である多様体論の母体の一つは解析力学とそこでの微分方程式論と言われているので, 適当に言っているわけではない.