2020-04-26 課題

はじめに

$F(x)=0$ という関数があったとする。 これは導関数の $F'(x)$ も $F'(x)=0$ である。

自分用メモ

解答例：忘れる前にメモしておく

句読点問題

TeX でいろいろな式を書こう

\begin{align} \int_0^\infty x^{2n} e^{-ax^2} \, dx &= \frac{(2n+1)!!}{2^{n+1}} \sqrt{\pi} a^{- n - 1/2}. \end{align}

\begin{align} \langle f, e^{-tH} g \rangle = \int_{\mathbb{R}^d} \mathbb{E}_W^x \left[ \overline{f(B_0)} g(B_t) e^{- \int_0^t V(B_s) ds} \right] dx. \end{align}

$\mathrm{R}$

いろいろなプログラムを書こう

numpy でのグラフ

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import numpy as np
import math
x = np.linspace(0.01, 2)
print(np.linspace(0.01, 2))
print(np.log(x))

print(np.log(1))

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[0.01       0.05061224 0.09122449 0.13183673 0.17244898 0.21306122
 0.25367347 0.29428571 0.33489796 0.3755102  0.41612245 0.45673469
 0.49734694 0.53795918 0.57857143 0.61918367 0.65979592 0.70040816
 0.74102041 0.78163265 0.8222449  0.86285714 0.90346939 0.94408163
 0.98469388 1.02530612 1.06591837 1.10653061 1.14714286 1.1877551
 1.22836735 1.26897959 1.30959184 1.35020408 1.39081633 1.43142857
 1.47204082 1.51265306 1.55326531 1.59387755 1.6344898  1.67510204
 1.71571429 1.75632653 1.79693878 1.83755102 1.87816327 1.91877551
 1.95938776 2.        ]
[-4.60517019 -2.98356174 -2.39443189 -2.02619098 -1.75765386 -1.54617572
 -1.37170739 -1.22320417 -1.09392939 -0.97946963 -0.87677571 -0.7836526
 -0.69846743 -0.61997259 -0.54719327 -0.47935332 -0.41582471 -0.35609202
 -0.29972711 -0.2463704  -0.195717   -0.14750614 -0.10151305 -0.05754264
 -0.01542447  0.02499122  0.06383674  0.10122955  0.13727438  0.17206506
  0.20568593  0.23821311  0.26971551  0.30025575  0.32989086  0.35867295
  0.38664975  0.4138651   0.44035936  0.46616976  0.4913307   0.51587408
  0.53982949  0.56322443  0.58608454  0.60843372  0.63029431  0.65168723
  0.67263205  0.69314718]
0.0

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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(0.01, 2)  # x を 0 にできない
y = np.log(x)  # 自然対数

plt.plot(x, y)

plt.xlabel("x", size=20)
plt.ylabel("y", size=14)
plt.grid()

plt.show()

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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(0, 2)  # 0 を含めるとエラー
y = np.log(x)  # 自然対数

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/usr/local/lib/python3.6/dist-packages/ipykernel_launcher.py:5: RuntimeWarning: divide by zero encountered in log
  """

sympy での連立方程式

実際に解があるか目で見て確かめる。

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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-2, 2, 100)  # x を 0 にできない
y1 = x**2 - 1
y2 = x
plt.plot(x, y1, label="x^2 - 1")
plt.plot(x, y2, label="x")
plt.legend()
plt.show()

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from sympy import *
#from sympy.plotting import plot
from IPython.display import display

def custom_latex_printer(expr, **options):
    from IPython.display import Math, HTML
    from google.colab.output._publish import javascript
    url = "https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-AMS_CHTML"
    javascript(content="""window.MathJax = {
        tex2jax: {
            inlineMath: [ ['$','$'] ],
            processEscapes: true
        }
        };""")
    javascript(url=url)
    return latex(expr, **options)

init_printing(use_latex="mathjax", latex_printer=custom_latex_printer)

x = Symbol('x')
expr1 = x**2 - 1
expr2 = x
sol = solve(expr1 - expr2, x) # 「引き算 = 0」にすれば連立方程式を解いたことになる
display(sol)

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<IPython.core.display.Javascript object>

$$\left [ \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}, \quad - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2}\right ]$$

微分方程式

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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from IPython.display import HTML
from matplotlib import animation

lx = 2  # 計算領域の長さ
nx = 41 # 領域の分割数
xs = np.linspace(0, lx, nx)

def diffusion(nx):
    dx = lx / (nx - 1) # 空間方向の刻み
    dt = 0.001         # 時間刻み
    nt = 200           # 計算回数
    nu = 1.0           # 拡散係数

    # 初期条件：中央以外すべて 0
    u0 = np.zeros(nx)
    # 真ん中に物質を置く
    x_center = int((nx - 1) / 2)
    u0[x_center-2: x_center+2] = 1

    # 結果の配列と nt, nx の次元を持つ配列で初期化
    us = np.zeros((nt, len(u0)))

    # 初期条件を結果の配列の各行にコピー
    us[:,:] = u0.copy()

    for i in range(0, nt-1):
        us[i+1, 1:-1] = us[i, 1:-1] + nu * dt / dx**2 *  (us[i, 2:] - 2 * us[i, 1:-1] + us[i, :-2])

    return us

us = diffusion(nx)

fig = plt.figure()

ax = plt.axes(xlim=(0, lx), ylim=(0, 1.2));
line, = ax.plot([], [], lw=2)

def animate(u):
    line.set_data(xs, u)
    return line

anim = animation.FuncAnimation(fig, animate, frames=us, interval=50)
plt.close(anim._fig)
HTML(anim.to_jshtml(default_mode='reflect'))

関数の近似

例

十分大きな $n$ に対する次の関数があります。 \begin{align} f(x) &= \frac{1}{n} \sin (e^n x), \ f'(x) &= \frac{e^n}{n} \cos (e^n x). \end{align} グラフを描いてみましょう。

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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

n = 10
x = np.linspace(0, 2 * np.pi, 100)
y1 = np.sin(np.exp(n) * x) / n
y2 = np.exp(n) * np.cos(np.exp(n) * x) / n
plt.plot(x, y1, label="$f$")
plt.plot(x, y2, label="$df/dx$")
plt.legend()
plt.show()

コメント

これは次のように思ってください。

関数の近似はいろいろ難しいところがあって, それだけで論文になるレベルです. 同じ事情はベクトルの近似にもあります. いま流行りの統計学の応用としての自然言語処理でも, 言語の近さを量的にどう判定するかという問題があり, これはまさに言葉をどうベクトルで表現するか, 表したベクトルの近さを何でどう判定するかが問われています. 例えば, よくある「変換候補」遊びは, ある単語を打ち込んだとき, その人の入力の癖という観点から次にどのような語が来るか (どのような語が近いか) を統計的に判定する自然言語処理の事情が絡んでいます. このあたり, 既に「身近」なテーマで, そして身近なことは本当に難しいのでちょっと考えた程度でわかるような話ではありません. 何せ十分な精度で使いやすくかつ役に立ってもらわないといけないので.