数学,物理,数理物理での内積関係の記法,記号

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Twitter で少しやりとりしたので簡単にまとめておこう.
どういう意味で取るかはかなり微妙なところだが「初学者」には分かりづらいようだから.

面倒なので全部関数空間で考える.
定義域は適当に \(\Omega\) にして, 関数は \(f\), \(g\) あたり.
作用素 (演算子) は \(A\) にする.

内積の記法

数学での記法

複素共役を \(\bar{f}\) として, 内積は次で定義する.

\begin{align} \bkt{f}{g} \defeq \int_{\Omega} f (x) \overline{g (x)} dx. \end{align}左の引数 (第一引数) を線型にして右の第二引数を反線型にしたい, という人情を表す.
内積自体には次のような記号を使う.

\begin{align} (f, g), \quad (f|g), \quad \langle f, g \rangle, \quad \langle f | g \rangle. \end{align}一番最初の記号が一番一般的だろう.
二番目の記法 \((f | g)\) は作用素環の竹崎先生が好んで使う記法だ.
他であまり見たことはない.
私自身は三番目の \(\langle f, g \rangle\) を使っているが, これは勉強した本である
\cite[量子力学の数学的構造]{AraiEzawa1, AraiEzawa2} と \cite[Bratteli-Robinson]{BratteliRobinson1, BratteliRobinson2} の記号を踏襲したことによる.
四番目, \(\bkt{f}{g}\) は物理でよく使う記号で数学ではあまり見かけないが,
ないこともない印象がある.
具体的に使っている本をぱっと挙げられないのだが.

数学だとある文献中でいろいろな内積が出てくるので,
それに合わせて記号をいくつか同時に使うことがある.
例を 2 つ挙げよう.
まず 1 つ目: 関数解析という Lebesgue 積分というか実解析というか,
その辺での話だ.
細かい話は省略するが Lebesgue の意味で二乗可積分な関数全体の空間 \(L^2\) での内積と
Sobolev 空間 \(H^1\) での内積は,
例えば次のように使いわける.
\(L^2\) の内積は

\begin{align} (f, g) \defeq \int_{\Omega} f(x) \overline{g(x)} dx, \end{align}\(H^1\) の内積は

\begin{align} \bkt{f}{g} \defeq \int_{\Omega} \rbk{f(x) \overline{g(x)} + f'(x) \overline{g'(x)}} dx \end{align}として書き分ける.

2 つ目は多様体上での微分形式の積分だ.
詳しく知りたい人は例えば \cite[P.28]{ThierryAubin1} などを参考にしてほしい.
すぐに見つからなかっただけで調和形式を扱っている本や Riemann 幾何の本なら大概載っていると思う.
\(M\) を向きづけられた \(n\) 次元 Riemann 多様体,
\(g\) を \(M\) の Riemann 計量,
\(\cbk{x^{i}}\) を座標系とする.
ここで \(\alpha\), \(\beta\) を大域的な \(p\)-次微分形式として
\(n\)-形式 \(\eta\) を

\begin{align} \eta = \sqrt{\det g} \, dx^{1} \wedge dx^{2} \wedge \cdots \wedge dx^{n} \end{align}で定義し, さらに座標を取って各点ごとの \(\alpha\) と \(\beta\) の内積を次式で定義する.

\begin{align} \rbk{\alpha, \beta}_x = \rbk{\alpha, \beta} = \alpha_{\lambda_{1} \lambda_{2} \cdots \lambda_{p}} \beta^{\lambda_{1} \lambda_{2} \cdots \lambda_{p}}. \end{align}\(\rbk{\alpha, \beta}\) はスカラーであることに注意しよう.
ここで大域的な内積を次の (Lebesgue) 積分で定義する.

\begin{align} \bkt{\alpha}{\beta} \defeq \int_{M} \rbkt{\alpha}{\beta} \eta. \end{align}各点での内積と大域的な内積に記号を使いわけている.
この記号 (角括弧と小括弧) はひっくり返ることもあるので注意してほしい.

ちなみに数学だと作用素の共役は \(A^*\) のようにふつうスターで書く2.

物理での記法

ここで紹介するのは物理というか, 量子力学での Dirac の braket と言った方が正確だろう.
複素共役を \(f^*\) として, 内積は次で定義する.

\begin{align} \langle f | g \rangle := \int_{\Omega} f (x)^{*} g (x) dx. \end{align}数学と違って左に複素共役をつける.
とはいえ, 数学でも時々同じ記法を使うことはあるのだが.
演算子の共役は \(A^{\dag}\) と, ダガーで書く.

数理物理での記法

端的に言って滅茶苦茶だ: 数学の記法と物理の記法のチャンポンになっている.
同じ人でも時と場合によって記法を変えることがある.
例えば新井先生は数学系の論文では \((f,A^* g)\) で複素共役もバーを使う数学よりの記号だと思うが,
物理の人が多そうな文献では物理の記法を使う.
分類の仕方が微妙なところだが, 数理物理の文献では大体数学の記法である中,
内積の第一引数を反線型に取ったりする.

ちなみに私自身はチャンポンの記号を使っている.
これは \cite[Bratteli-Robinson]{BratteliRobinson1, BratteliRobinson2} の記号を踏襲したことによる.
内積は第二引数を線型に取る物理の記法だが, 複素共役と作用素の共役は数学の記法だ.
見ると分かるが, \cite[量子力学の数学的構造]{AraiEzawa1, AraiEzawa2} と \cite[Bratteli-Robinson]{BratteliRobinson1, BratteliRobinson2} でも記号が違う.

ノルムの記法

これについては数学に特化して紹介する.
ノルムはいわゆるベクトルの長さにあたる.
まずよく使うのは \(\norm{f}\) と二本線を使う記法だ.
\cite{HaimBrezis1, HaimBrezis2} では内積から来るノルムに対して \(\abs{f}\) と普通の絶対値の記法を使っている.
あまり見かけないがそういうこともある.
あとよくあるのは \(\norm{f}_{p}\) と書いて \(L^{p}\) でのノルムを表す記法だ.

他にはいろいろな空間が出てくる関係上,
ノルムの添字に空間自体を書くこともある.
例えば \(\norm{f}_{H^1}\) とか \(\norm{f}_{W^{1, p}}\) などだ.
Besov 空間 \(B_{p, q}^{s}\) に対して \(\norm{f}_{p, q}^{s}\) と書いたりもする.

脚注:

2

全く関係無いが大学一年の頃,
演習の質問でスターを「雪印」と呼んだ友人がいて,
「これはスターと読みます.」と突っ込まれていたことを想起した.


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